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1 7 4. Identité remarquable. Si, dans la relation (sis), on change <y en <f, 

 et que l'on retranche ensuite membre à membre, on obtient l'identité 



{i-t-Zq+Zq'-t-ïq* + • • •)* — (I +2(/ 2 -t-2'/. 8 -i-2(/"'-t- •••)* 

 = 8r/(l+ q i + (f ■¥■ q {i + •••)*+ 1 6^(1 -4-9* -*-g w -t-qf M H ; 



qu'il est facile de vérifier. 



I/o. Au moyen des relations connues : 



?^_ d==8 M_ 



(520) 



1 + 7- 1 — f/ : ' 



T-^â +-1» • (321) 



s *\* , r 7 - 9 S . 7 S _ ï 1 1 



— =4 ■+- 3 — — - -t- S — — - -+- 7 — h.— . (322) (*) 



-/ Ll — 7 1 — 7 6 1 — '/" 1 — '/" J ^ M 



1 (aV 1 /«M* 1 7- o' g 6 r, s 



- r»E,(fc =2 — — + 4— " — -1- 6 — ï — -+-8— " — h- ••• (323} (') 



2\J 4VW 2-- ' W 1— 9 « 1 — 7» 1 — <y' 2 1 — r/ ,,; ' l M ' 



on peut former des développements de la fonction wE, (A) = F, (/.) E, (A) 

 = F,E,. On tire en effet, de ces trois équations, 



1—1/-' 1—7' I— (f 

 et, en réduisant : 



F,E, 1 



1^1 



t 9 7' , 7° . 7 8 , 7 



= : ; — z ; ■+• o — 4 -4- a 



8 I - 7 J 1 — q* I — 7'' I — 7* 1 l — 7'" 



(324) 



Si l'on développe chaque fraction, on reconnaît que le coefficient de q Sn es/ 

 é(j(d à l'excès de la somme des diviseurs impairs sur la somme des divi- 

 seurs pairs de n. Ainsi, sous forme abrégée, 



^J-— 2,( S .-W' (323) 



(*) Legendre, t. III. pp. 133 el 134. 



