SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 87 



180. Si, pour plus de simplicité, ou fait /= 2/ — 1, et que Ton remplace 

 q- par q, la relation (ôô<j) devient 



[X A <f = l2" 9 '~l/^ _1) [^d.] (358)0 



181. Vérifications. 1° Le produit des séries 



1 -w/ -t- 7 3 -h 7 e + q l ° + q u -+- q" h- 7 28 -h • • • , 



limité aux onze premiers termes, est 



I -t- 7 -+- 7* -t- 2f/ 3 -t- «/ s ■+- 2r/ 6 -+- r/ 7 h- r/ 8 + <f -t- 7'". 



2° De même, 



~y" q'-' f{>d— l)= !-H27-t-Ô7 2 -H67 3 -t- 5g*-+-6g 5 + I 0</° •+- 8g' -1- 127"+ I4g 9 + Il 7"'. 

 4 -'i ,/ 



3° Enfin, le carré du premier polynôme est 



I + - 2 q + 07 2 + 07' -+- î>7 4 -h 67= -t- IO7 6 -t- 87' -t- 127 8 -t- U7 9 -4- 117'" h [Ad.] 



182. Identité remarquable. Une simple transformation de l'identité connue 



_î ( ^ + -Jt îL_ + ... = _î_v_?L+-X-+...(559)n 



! _ ç» 1 _ f/ « 1 _ f/ «> i _ ? «* 1 -+- q* I -t- 7" t + 7"' 



conduit à un résultat curieux. Si Ton écrit, au lieu de cette égalité, 



? 9_) + (_£ £J + (_* -£- 



! _ ç « l -»- g*/ \1 — 7 10 1 + 7"7 \1 - 7' 8 1 + ? 



^ _ q« 1 + qV 11 — 7 14 1 -+- 7"/ \ I — f 1 + 7 



que l'on réduise, et que l'on remplace q 4 par q, on trouve 



i — ç"^i — fl" * — 9" 1—9" *-9 ! '-7 7 *— ?" '-'/" 



(') On suppose A = 1. 

 (**) Legendre, t. III, p. 132. 



