88 RECHERCHES 



ou 



73a— 2 fl b 



\'—l = Y 1 [Ad.] (340) 



A i _ g *-3 A i — 7 «-< 

 183. Remarques. I. Si Ton met cette identité sous la forme 



chacun des coefficients A n , R n es/ ?#«/ à la moitié du nombre des diviseurs 

 de 4n — -1. 

 Soit en effet 



n = Za — 2 -+- (4« — ô) x = 6 -+- (4-6 — 1)?/, (341) 



OU 



4« — 1 = (4a — 3) (4x + 3) = (46 — I ) (4?/ + 1). 



Soit ensuite 4n — \ = H', i étant le diviseur qui a la forme i/x — 1 : il est 

 clair que 



i'-t-5 i-t-1 i — 3 i'—l 



4 4 4 * 4 



Conséquemment, le nombre des fractions qui concourent à former k n q n est 

 égal à celui des valeurs de i; etc. 



II. Les équations (ui) admettent le même nombre de solutions entières : 

 ce nombre est la moitié de celui des diviseurs de 4n — I . 



Prenons, par exemple, n= 19; d'où 



i = 5 , 15,75; i' = 25 , 5 , 1 . 



Les valeurs des inconnues sont 



« = 7,2, 1; 6 = 1,4,19; x = 0,5,18; y = 6,l,0. 



Le terme A,,// 1 " provient du développement des fractions 



q <f <r . 



' ir' ). f 



1 — q I — (f 1 — q' J 



donc A, = 3. 



