SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 89 



Dans le second développement, ces fractions sont remplacées par 



i] <] 1 q 19 



1 — 7 r> I — f/ 15 I — q™ 



Par suite, B 19 == 3 = A 19 . 



III. Si 4n — 1 est un nombre premier, A n = B„= 1. [Ad.] 



184. Le beau théorème de Jacobi, sur le nombre des décompositions de 



8w -f- 4 en quatre carrés impairs, résulte de l'identité 



On en conclut, très-facilement : 



(1h- q -t- 7 3 -t- o»-ho«h-...)'= + 5 — ?- ,-t- 5— — -t- 7 — 1 , (345) 



1 l ' ' \—q \—rf I — q* l — q 1 



1 q q* q 7 ' 



(1 — «— f/ 3 H- n 6 -+-</"' )« = 3 — î— r+ S , ' -7 ' , + ..., (344) 



v ' ' ' ' ' 1 + q 1 -+- c/ 3 I -+- </ 6 1 -+- r/' v ' 



« 12 M 28 



(o— o 9 — ifV «"-+- a 81 ) 4 = — — - — 3 —~ + 5 — ±— - -t- 7 — !—- -t- • ■ ■ ; (345) 



' y y ' ' ' i -t- o 8 1 -+- q u 1-4- a*' 1 -t- q m 



relations qui nous seront utiles plus loin. 



185. La série de Lambert : 



q r/ 2 q" (f 



— - 1 1 - — r -i - h- ■■■ = q -+- 2n' 2 -f- 2g 3 H (-N(w)fl" -f- — , (340) 



N (■») représentant le nombre des diviseurs de n , est évidemment décompo- 

 sable en 



A VI — (/ 1— r/' d-7" / 



Or, 



~ + —=q-t-%q*-t-3q l -*-q*+2q*+q''-*-4q*-t h ( a + !)</"-.- •■•,(547) 



\ — q I — f/ 2 1 — q' 



pourvu que Ton suppose, comme précédemment, n — 1 a i. Autrement dit, 



(*) Legendre, t. III, p. 455. 



