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le coefficient de q" est égal au nombre des puissances de 2 qui divisent u (*). 

 Par .suite, 



puis 



^ + » + -JL. + -JL_ + ...-2 2 (.-M),- . ..(548) 

 \ — (j I —7- I — if 1 — if ~ = , *" =1 



Si l'on intervertit Tordre des sommations, on peut remplacer le second 

 membre par 



Y (« + 1 ) ('/' + 7 3 " + '/' n + ■■■)= 2" (« + <) 



9" 



". ' ' \ — if" 



Ainsi , 



— ! h— - h— H— = ? h'2- - 1 hô- H--t-(a-t-l) — - h—: (549) 



1_ 7 |_^ \-,f \-,f \-,f \-<f \-,f '\—<f" 



transformation assez curieuse (**). 



1N(). Si, dans le premier membre de l'égalité (347), on change les signes 

 des termes de rang pair, on trouve 



1, if q 1 r/ s q'" 



I — ij 1 — if 1 — f/ 4 1 — r/ 8 i — q" 



q 1 ' <i u .... (350) 



I — q* 1 — q* l — tf- 1 — <7 ,2S 

 = </ -t- r/ 3 -+- r/ 1 -+- </ 5 -1- f/ 7 -t- g 9 -+- — 1- if -+- • • • , 



pourvu que l'exposant n ««ï /« /ôme 4-°!. Ce développement me paraît être 

 le plus simple de ceux auxquels donnent lieu les séries qui ont pour type 

 celle de Lambert. 



187. La fonction qui représente la somme de la dernière série est liée à 

 la fonction F (</) considérée ci-dessus. En effet, soit 



$(q)=q + q i -i-q u + q»+... (351) 



(*) L'unité est considérée comme égale à 2°. 



(**) Elle résulte aussi de cette propriété évidente : le nombre des diviseurs de n est égal au 

 produit de a. -+- \ par le nombre des diviseurs impairs. 



