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193. Dans la dernière équation, supposons k = \/%> ou (j = e~ r . 11 vient, 

 à cause de 



h- 2 1- Û : -+- 4 



l-t- 7 1 — ff \ -h (f 1 — '/' 



1 1 



8 ~ i 



•i - 



OU 



I 2 3 4 II 



1 +- h- !-•••= ;. . . . (368) 



ou enfin, d'après la remarque précédente, 



e- T +e^ 2T -t- 4e- :,:r + 5(^ 4T -f-(ie- ST -4-4e- 6 ' r -(- ••• = ■ ■ (369) (*) 



8 ilt 



VII. 



QUELQUES THÉORÈMES D'ARITHMÉTIQUE. 



194. Les problèmes relatifs à la Partition des nombres, à l'Analyse indé- 

 terminée, etc., auxquels donne lieu la considération des produits indéfinis ou 

 des séries, sont fort nombreux, comme le prouvent les travaux d'Euler, 

 Legendre, Jacobi, Diricblet, etc. Dans plusieurs paragraphes de ce Mémoire, 

 nous avons rencontré quelques-unes de ces questions ; dans celui-ci , nous 

 en traiterons d'autres, aussi simples que les premières. 



195. L'identité 



(1 + 2g+ 2?*-*- 2ç'+ 2 7 ""'-+- -) s - (I — 2g -1- 2g'— 2ç 9 + -) ï = 8g(l-t- g'-+- g"-+- g M -+- •■•)*, (31) 



donne, immédiatement, ce théorème connu et presque évident : 



Si un nombre impair, N, est la somme de deux carrés, -—est la somme 

 de deux nombres triangulaires; et réciproquement (**). 



(*) Cette équation entre les incommensurables k, e a-t-elle été remarquée? [Ad.] 

 (") Les équations 



N — 1 x (x -+- 1 ) 11 (y h- 1 ) 



— — = H- : : . .N = ij- -+- y -+- 1 r -+- ix — yr. 



■i 1 -2. 



rentrent l'une dans l'autre. 



