SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS 95 



196. L'identité 



(1 + 2g -+- 2g*-t- 2g 9 -+- •••)' ■+- (1 - 2g -4- 2g 4 - 2g 9 -t- • ••) 2 = 2 (1 -t- 2g s + 2g 8 + 2g 18 +- •••)% (50) 



si on la simplifie autant que possible, prend la forme 



On conclut, de cette nouvelle égalité, la proposition suivante : 



Si un nombre N est ta somme de deux carrés, 2N est aussi la somme de 

 deux carrés; et réciproquement (**). 



197. Dans la relation 



(I -+- 2g -h 2g 1 -+- 2g" + •• •)' — (1 — 2g -t- 2g 4 — 2g'-t- -•■)' = l6f / (■ + 7 2 " 1 - '/ 6 + ?'*+ • ■ )S (29) 



conséquence des identités (30) et (31), posons 



x = g -4- g' -t- g 9 -4- g 16 h- • • • ; y = — g -+- r/ 4 — g 9 -+- g 16 — 



Le premier membre devient 



8 (x — i/) + 24 (x 2 — _y 2 ) + 52 (x 3 — .g 3 ) + 1 6 (x 4 — 1/). 



Représentons par 2 une somme de termes dans lesquels les exposants 

 de q soient /MZirs , et par 2 une somme dans laquelle les exposants soient 

 impairs. Nous aurons 



x = s g- s + s f /" s ' ^ = 2 '/" î+ "' 2 + 2 '/" 2+ "' 2 . etc - 

 y = 2 '/" - 2 <T > >f = 2 7" 2+n,i - 2 ?-*■, etc. -, 



pipi 



puis, au lieu de l'égalité (20) : 



2 ( l"' + 3 2 f /" J+ "" + 4 2 g"*" 1 ""'* 4 "'" 4 ■+• 2 2 g»*+»"+»"H*'"« = g (1 + g 2 -f- r/ 6 -H g l2 -i- •••) 4 ; 



(*) Nous n'avons peut-être pas besoin de rappeler que p , p' désignent des nombres pairs; 

 i, ï, des nombres impairs; etc. 

 ('*) Genocchi, Nouvelles Annales, t. XIII, p. 138. 



