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ou encore, par le changement de q en q' : 



2 f" + 3 2 'y' 1 "" 1 """' + 4 2 f/ 4 "" 4 """^" "*'+ 2^ , J 'C*-+' ! «" ! +"" ,î i=(, +? ' + f +( / ! + ...)'. (370) 



Cette identité démontre le théorème suivant : 



Soit N un nombre donné, impair. Soient les équations isolées 



w 2 = N, w 2 +x 2 =N, io*-4-a; s -t-«/ 2 =N, ?r-+- .t' 2 -t- ?/ 2 -t- z 2 = N, m; 2 -+- x 2 -+- y--v- z 2 = 4N, (571) 



tfaws lesquelles les mêmes lettres désignent des inconnues différentes. Si 

 a, h, c, d, l sont, respectivement : le nombre des solutions entières positives 

 de la première équation (**), de la deuxième, etc.; on a, entre ces cinq 

 nombres, la relation 



X = a + 56 -t- 4c + 2d (572) 



Soit, par exemple, N = 19. Les équations (371) sont 



w* = 1 9, le' 2 + x 2 = 1 9, w 1 -+- x f + j/ 2 =l 9, tv* +f+/+; ! =l 9, m? s ■+ x 2 + j/ 2 -1- ; 2 = 76. 



Les deux premières n'admettent aucune solution. D'ailleurs 



•19 = 9 + 9+ I=l 6 + 1+1 + 1, 76 = 25+25 + 23 + 1 =49+9 + 9+9 =49 + 2j+ 1+1; 

 donc ( = 5, </ = 4, i = 4 + 4 + 4.3 = 20. (*") 



On doit avoir 



4.3 + 2.4 = 20; 



ce qui est vrai. 



Soit encore N = 25. De là résultent les équations 



)r'-'=25, u>'+a; 1 =25, mj 4 + x 2 +i/ 2 = 25, i« 2 +a: ! +y a +z 2 =2D, w 2 + x 2 + //+ z 2 = 100. 



La troisième est impossible. Les solutions des quatre autres, essentiellement 

 différentes, sont 



I" w = 5; 2°w = 3, x = 4; 4° te = 4, x = 2, y =2, z = l; 3" u> = 9, x = 3, y = 5, ; = 1 ; 

 w = 7, x = 7, »/ = l, z = 1 ; w = 5, x=5, i/ = 5, z = l ; w = 7, x = 5, ?/ = 5, z = l. 



(*) Dans ces nouvelles sommes, chacun des exposants a la forme 4*. 



(**) a est nécessairement ou I . En outre, dans la dernière équation, les inconnues ne doivent 

 recevoir que des valeurs impaires. 



("*) Les nombres 9,9,1 donnent lieu à trois permutations ; les nombres 16, 1, I , I , à quutre 

 permutations; etc. 



