■ ■■•)•= X qi J *' 



SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 97 



Donc 



12 5-4 1.2.5.4 1.2.5.4 



a = ï, .6 = 2, c=0, rf= '" ^ =12, > = , -- + --T^— +•+— T^-= 5,; 



et l'on a bien 



51 = I -+- 2.5 -+- 2. 12. 



198. Remarques. I. Si, dans l'équation (502), on change r/ en — q, on 

 trouve 



( 1 + 29 + 2 9 4 + 2?» +■••)'- (1 — 2? ■+- 2r/' - 2? 9 +- -)'= t6 J" g*/f. 



Donc, à cause de l'identité (20) : 



q (I -t- (/' ! -+- tf-¥- q 1 ' 



ou par le changement de q en q' : 



( ? + ç » h. 9 » .+- 7 » +...)*= 2" v 1 ' /* ( 575 ) 



Ainsi, 1, nombre des solutions, en nombres impairs, de l'équation 



M) 2 -I- X 2 h- y* -+- z 2 = 4N , 



est égal à la somme des diviseurs de N : c'est le beau théorème de Jacobi. 

 II. D'après un théorème de Gauss (*), si l'on appelle N' le nombre des 

 diviseurs de N, formés seulement des facteurs premiers ayant la forme 

 V -r- 4, on a : b = N' ou b = N' — 4, suivant que N' est pair ou impair. 

 Si donc d était connu, l'équation (372) donnerait c, ou le nombre des solu- 

 tions de l'équation 



w* -1- x i -+- y i = N. 



J'ignore si M. Liouville, qui s'est beaucoup occupé de la décomposition 

 en trois carrés , a résolu cette question particulière (**). 



(*) Voir la démonstration donnée par M. Genocciii (Nouvelles annales, t. XIII). 

 (**) Dans le Journal de Mathématiques (t. XXVII, p. 43), M. Liouville donne cet énoncé : 

 Soit N un ?iomhre de la forme 8/j. ■+■ 3. Le nombre des solutions de 



x 2 -t- >f 2 -+- c" 2 = N , 



