98 RECHERCHES 



199. L'équation (502) peut encore être transformée ainsi : 



( (/ 1 +(/ ,t +f/ 3i +...) +Z{q l +q i '+q"+-y+Hq i +q K +q i ° +...) s +2( ? '+ ? "+ç S6 + ■■■)' J 

 : ( Ç H. g »+ ? »+...)^3( 9 î + î ,8 + ? M +-»)'+5(^+ ? 36 +g 100 +--) < +5(9 8 +7"+ï a "+"-) i +-".r 



Celle-ci, qui ne diffère pas des relations (31s), (3111) donne le théorème sui- 

 vant : 



Soit N un nombre donné, pair ou impair. Soient les équations isolées 



10*= N, mt-.-x j =N\ w i -t-x î .-hy i = $, w*-HX*-i-y*-t-z* = N; 



N 

 w t +x î -t-y i +z l =W, w , -hx 2 +if-hz î =-2îi, iv 2 +x- + y--hz a -=N, w t +-x i +y i +z'= -, etc. 



dans lesquelles les mêmes lettres désignent des inconnues différentes. Soient 

 a„ b„ c„ d, les nombres de solutions des quatre premières; et p., p l} p. 2 , ... tes 

 nombres de solutions des dernières, dans lesquelles les inconnues ne doivent 

 recevoir que des valeurs impaires. On a, entre ces nombres, la relation 



200. Application. Soit N = 24. Les équations à résoudre sont : 



w 2 = 24, w 2 -i-x- = 24, iv--hx i -+-y° = "2i, w 2 -+-x' 2 +)/ 2 -t.^ = c 2i; 

 M ,.5_ HX 2_ 1 _ !/ '2 + . 2 = 1JC; w *_ t _, r v ! / 2 -+-;: s = 48, w î +a .« +2/ » +z > = 24, w t +x i -hy i -+-z°=\2, 

 w 2 +x 2 +»/ 2 + :-=6, îc î! -t-.rH-)/ 2 +z 2 =D. 



On trouve 



«, = 0, /;, = 0, f,= 3, d, = 0, f* = 0, f*, = 0, k> = 0, p 3 = 4, fx 4 = 0, n 5 = 0; 



après quoi, l'équation de condition devient 



4.5 = 5.4. 



201 . Remarque. La somme de quatre carrés impairs a la forme 4 (2v+ 1 )• 



x, y, z étant impairs et positifs, est 



£ désigne l'excès du nombre des diviseurs ayant la forme An -i- 1 , sur le nombre de ceux qui 

 ont la forme 4j* — 1 . 



