SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 99 



Si donc N = Ti, i étant impair, les équations formant le second groupe 

 sont impossibles, excepté celle-ci : 



w »_h a;* -h ^ -+-«* = 2*. ï. 

 De là résulte que la relation (37s) peut être réduite à 



a, -+- 36, -+- 4c 4 -+- 2tii = 3j* a (376) 



202. La relation (373) peut, on l'a vu, être écrite sous cette forme : 



r,ÎO 



dr^ 3 ïé^ 3 ï^- =(7-w/"-w/^ ••)<• (342)0 



Une identité analogue à celle-ci va nous donner d'autres théorèmes. 

 On a, simultanément : 



i— ( f ' 1— f/ s \ — (f \ — <f 4tt 4 



1 + q + g » + ,/■ + g" + 9 '»-+- • • ■ = rP \/^ \/~k; (20) 



donc 



t- 2 3 -1- + 3 3 -£— + 4 S — £- g + ••■ = (! + g + g*+ 9 6 +- -) 4 ; (578) 



■i — </ 5 1 — 7' 1 — g- 6 1— q' 



ou bien, 



,,8 „16 „U „3S 



_l_+2 3 -^-+5'-^- s + 4 3 -i— + ... = ( gH _ ? »+ ç »+...)». . (379) 

 l_g« l_ g 3ï 1 — r/ 48 1 — 7" 



En outre, à cause de la relation (342), 



r t + 5 9 - + 5 £ + l-±- + :..1 !£-^-^-h5S-?V-;(380) 



LiZ7 H - D 4-^ +5 ÎT^- , - 7 l _^i + J i-f + i 1-î" 1-7 48 * ' 



(*) Lbgendre, t. III, p. 153. L'illustre auteur ajoute, en note : « Il suit immédiatement de 

 » cette formule, que tout nombre 8« . -t- 4 est la somme de quatre carrés impairs; et de plus, 

 » qu'tV est autant de fois de celte forme, qu'il y a d'unités dans la somme des diviseurs de 

 » 2n-+- i. » La seconde partie de cet énoncé doit, je pense, être rectifiée ainsi : l'équation 



1"- -t- i' 1 -t- i" 3 -i- i"" = 8n -t- -i, 



dans laquelle i, i', i", i'" sont des nombres impairs, a autant de solutions que l'indique le 

 nombre des diviseurs de 2n -+-1. (Voir ci-dessus.) 

 (**) Fundamenta, p. 111. 



