104 RECHERCHES 



Si, pour plus de régularité dans la notation, on change l" en //, on trouve 



12/1 -+- I = 24x 2 -t- (6y=pl)* (Ô88) 



En outre, le coefficient de r/", dans le second membre de l'identité , à pour 

 valeur 



B=(-if°+22(-ir s 



ou B «= S J (-!)■+», 



selon que le nombre donné, m, est ou n'est pas le double d'un nombre pen- 

 tagonal : j'appelle y„ la valeur de y qui répond à a? = 0. Pour [dus de 

 simplicité, admettons que le second cas ait lieu. Comme A== I>, l'on a, entre 

 les solutions des équations (199), (sss), la relation 



j+^'' 1+l ' 



2(-l) ! = 2 ^ (-!)*+» (589) 



2 ! 0. Remarque. Si l'équation (ôss) est impossible, R = 0; et. alors 



c'est-dire que le nombre 1 -f- 1' -f '^~- a autant de valeurs paires que de 

 valeurs impaires. De même, si l'équation (109) est impossible, A = 0, et 



2(— i)'+» = 0. 



Dans ce cas, ou l'équation (388) n'admet aucune solution, ou la somme 

 x -\- y a un même nombre de valeurs paires et de valeurs impaires. 



211. Applications. 1° Soit, comme au n° 89, n = 40. Les solutions 

 de l'équation (199) sont : 



i = S, l'=0; 1=0, f=S; / = 5, t' = ->; / = 2, /'=;i. 



En même temps : 



ôr=F/' 



0, 40, o, 



(*) Il ne faut pas oublier que n n'est pas double d'un nombre pe itagonal. 



