HHi RECHERCHES 



On doit trouver 



(_ 1)'" = (— 1) 5 -4-2(- 1)'"; 



ce qui a lieu. 



213. Les diverses identités que nous avons démontrées dans les nu- 

 méros 72 et suivants, donneraient des théorèmes analogues aux précédents; 

 mais il n'y a pas un grand intérêt à les chercher. Nous rapporterons cepen- 

 dant celui-ci, qui résulte de l'identité (ne) : 



Soient les équations 



(-2x-\- I) 2 +(■>!/ -4- l) 2 =S/<-4- -2. 2 (~2x' -4- if -+-(4y')*= 8m -t- 2 . . . (590) 



Soit e l'excès du nombre des valeurs paires sur le nombre n'es valeurs 

 impaires de y. Soit, semblablement, e' l'excès du nombre des valeurs paires 

 sur le nombre des valeurs impaires dey'. Onae==%' — 1 ou t = %', sui- 

 vant que N est ou n'est pas le double d'un nombre triangulaire. 



Si, par exemple, n = 21, les équations à résoudre sont : 



(2.r -f- 1 Y -4- (2y -+- 1 Y = 1 70 , 2 (2x' -4- 1 ) 2 -+- (%'f = I 70. 



La première est vérifiée par y = 0, y = 3, y = 8, y = 6; donc £ = 0. La 

 seconde équation est impossible : e' = 0. 



Soit encore N = 20 : N est le double du nombre triangulaire 40. Les 

 équations (590) deviennent 



(2x + 1)'+ {iy -+- I )'- = 1 62 , 2 (2x' -4- I)- -t- (%')' = I (12. 



Elles ne sont vérifiées que par y= A, y'= 0; donc e = 1, =-' = \ ; et 

 ces nombres satisfont à la relation énoncée 

 21 \ Les diverses décompositions de la série 



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I _-,/-'-+- ■Mf—-,,f-+. \) ( f-"- ... = (] ■' 1-1 l/2fcF = S, .... (24) 



obtenues ci-dessus (84, 161), conduisent à dos résultats intéressants. Rappe- 

 lons d'abord les identités dont il s'agit : 



S = «'» = (1 -7 f -7 l + 7"'+r / u - ••)% (8*) 



