SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 107 



L'égalité entre les deux premières valeurs de S a été trouvée par Jacobi (*) : 

 elle constitue, suivant l'illustre Géomètre, « un résultat remarquable ; et, 

 jusqu'à ee jour, unique dans l'analyse (**). » 



Si, en premier lieu, on égale le terme général de S au terme général de 

 chacun des produits (si), (191), on trouve les deux formules : 



X (_ J^+y+-- f/ l3' i +-) + (3» 2 +») + (^+--) _ (-2„ _+. |) (_ |)" g«(«+D ) 



2(~i) ' <t ' * + =(2«+l )(-!)'* 7» <»+<>. 



De la première, on conclut les théorèmes suivants : 

 I. Soit l'équation 



(6a:qzl) s -t-(6(/=F !)'-*- (6z=f1)* = 3(2» -f- 1)', (591) 



r/rt»<s laquelle les inconnues ne peuvent recevoir que des valeurs entières. 



(*) Nova Fundamentu, p. 186. 



(**) Journal de Liouville , I. VII, p. 86. Dans ce beau mémoire, Jacobi développe diverses 



conséquences de sa formule. Xous citerons seulement celle-ci (p. 96) : 



Soit l'équation 



(6x ± 1 f -+- (61/ ± 1 )* -4- (6; ± 1 )' = 2-4» -t- 3 , 



dans laquelle le .second membre n'eut pas le triple, d'un carré. Il y autant de solutions pour 

 lesquelles une ou trois des inconnues ont des valeurs paires, que de solutions pour lesquelles 

 une ou trois des inconnues ont des valeurs impaires. 



