SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 109 



216. Dans la formule (iss), le produit des deux derniers facteurs peut 

 être représenté par 



Conséquemment, 



Sl-ip"? ■ s +a5(-<) ' ""'/ J 2 " =2 (*» + i)(-D"7"'— '. 

 Posons l'équation 



a: (x -+■ 4 ) >/(?/-*- I) , 



— ; -i 1- 2z = u [h -+- I ), 



2 2 



ou bien 



(2z +■ If -+-(2 //+ 1+ I6z* = 2(2n -<- If; (39S) 



nous aurons le théorème suivant : 



VII. Soit, pour z = 0, s l'excès du nombre des valeurs paires sur le 

 nombre des valeurs impaires de y{y ~^ i] • Soit, semblable ment , e' l'excès du 

 nombre des valeurs paires sur le nombre des valeurs impaires de y -^ — -}- z, 

 z étant positif. On a 



E-t-2e' = (2n -+- 1)(— 1)". 



217. Les formules (i8i),(i8c) conduisent, on le comprend bien, à des 

 théorèmes identiques au fond (*). Pour avoir un énoncé simple, prenons la 

 seconde. 



Le produit des deux premiers facteurs égale 



(I + 2 7 ' + 2 7 ,r ' + 2g 56 + •■■)-- i {q + <f + ç" + </" + -)' 

 = 1+4 (r/ 1 + q" + r/° +■•■•)-*- 4 (ç* +• q K +■ r/ 30 + ■••)" - 4 (7 + q' + (f s + q" + •••)'■ 



Cette fonction peut être représentée par l+45( — \) x q xi+,J \ pourvu 

 que l'on suppose xety de même parité, et x positif. 



Un terme quelconque du troisième facteur a la forme z (z -j- 1). Par con- 

 séquent , 



^ ç-c+ti + 4 J {- I) 1 7 « i +^i-+"= ^ (2« + 1) (- I)" 7""' + "; 

 puis : 



(*) Cette conclusion résulte de l'identité (442). 



Tome XL. ^ 



