110 RECHERCHES 



VIII. L'excès da nombre des valeurs paires de x, satisfaisant à l'équation 



4x 2 -*- 4//* -+- (2; -t- I) 3 = (•_>« -4- l)% (596) 



sur le nombre des râleurs impaires, est 



(a* -*-<)(-<)"-< (597 ) (•) 



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218. Exemples. I. »=7. Faisant z = 0, 1,2,3, 4, o, 6, on trouve 



a-- -, i/ 2 = 56, x s -t-J/'=54, x 2 -*-t/ s =50, x 2 -+-i/ i = 44, x 3 * ?/ 8 =ô6, x î -i-ï/ î =26, x i -t-y*= 14. 



Aucun des nombres 56, 54, 4-4, 14, n'est décomposable en deux carrés; 



50 = I -t- 4!) = 25 -+- 25 = 49 -4- 1 , 56 = 6 J -+- O 2 , 2G = 1 -t- 2b = 25 -4- I . 



Ainsi, les valeurs de x sont 1, 5, 7, 6, 1,5. Donc e = l — 5 = — 4; con- 

 formément à ce que donne la foi-mule. 

 II. n = 13. On a, successivement : 



x 2 -4-j, 2 =182, x 2 -f-?/ 2 = 180, x 3 -+-y- = I7(i, x 2 -4-?/ 2 = 170, x s -t-«/ s = 162, x ! -+- y* = 1 52 , 



x 2 -4-ï/ 2 = 140, x 2 +?/ 2 =126, x 2 +»/ 2 =110, xV»/ 2 = 72, x s -+-t/ J = 50, x'+«/ s = 2G; 



180 = 56-4-144=144-4-56, 170=1-4-109 = 49-4-121 = 121 -4-49 = 169 -+- I, 



102 = 81-4-81, 72 = 50-4-56, 50=1-4-49 = 25-4-25 = 49-4-1, 26= 1 -4- 25 = 25 -4- ! : 



— 27—1 



t =1 -4- 1 - I — I — I — 1 — I -4- 1 — I — t — 1 — I - 1 = - 7 = ; 



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219. Le Théorème VIII parait avoir des conséquences assez importantes, 

 sur lesquelles je reviendrai peut-être plus tard. Dès à présent, je crois pou- 

 voir signaler celles-ci : 



C) 11 ne faut pus oublier, dans l'application de ce théorème, que l'on peut l'aire y =0, mais 

 non x=0. Ajouions que, si un carré impair est égal à la somme île trois carrés, ceux-ci. ont les 

 formes ix" 2 , 4^/ 2 et (2: -4- I )*. En effet , l'équation 



{ix -4- 1 y 1 -4- (2j/ -4- I y -4- (2s + 1 )» = (2n + 1,< 

 donne 



<^R, . i -4- -2 = JT<j . 4 



