SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. IH 



IX. Si un nombre premier, p, n'est pas la somme de deux carrés, \r >'sf 

 décomposable en trois carrés. 



X. Si un nombre premier, p, est égal à la somme de trois carrés, \f est 

 généralement égal aussi à la somme de trois carrés : il ne pourrait y avoir 

 exception que si p était décomposable en deux carrés (*). 



Pour démontrer le premier théorème, il suffit d'observer que si l'équa- 

 tion (590) était vérifiée par y = 0, les valeurs de x, z, n seraient données 

 par les formules connues : 



2a; = ah , 2z -h 1 = «" — b\ 2m -+- 1 = o 2 -+- If; 



et celle-ci est contraire à l'hypothèse (**). 



220. Si, dans le développement considéré ci-dessus (217), on suppose 



■ j c' ! + y' + z ( zJ r 1) = 2N, N n'étant pas triangulaire, le coefficient de ç 2N 

 est nul ; donc 



XI. L'équation 4o; s -+-4y î -+-(2z-<- I)* = 8N-*-i, (398) 



dans laquelle le second membre n'est pas carré, est vérifiée par un même 

 nombre de valeurs paires et de valeurs impaires de x (***). 

 Soit, par exemple, l'équation 



ia --+- %''-+- (-2; -4- If = 17. 



Elle admet, comme solutions : 



x = 1 , y = \ , z = 1 ; x = 2, y = 0, : = 0. 



Donc £=0, conformément au théorème. 



221. Les égalités (m), (iss), qui n'en font réellement qu'une, donnent 

 lieu à ce nouveau théorème, moins simple que les précédents : 



(') Encore n'est-il pas sur que ce cas d'exception puisse se présenter : le nombre premier 

 29 = 16 + 9 + 4 = 25 -+- 4; néanmoins, 29 = 24%- 16'-+- 3". 



('*) Le Théorème X, compris dans celui-ci, semblera peut-être digne d'attention, si l'on se 

 rappelle que le produit de deux facteurs, égaux chacun à la somme de trois carrés , n'est jhis 

 toujours égal à la somme de trois carrés (Legendre, Théorie des Nombres, t. I, p. 213). 



('**) On fait toujours abstraction de x = 0. 



