112 RECHERCHES 



XII. ;t étant le nombre des solutions de l'équation 



(2a: -t- 1 f -¥■ {-hj + I )' = 2 (2n -t- 1 ) ! ; 



l'excès du nombre des valeurs paires de z qui vérifient 



(2s -+- 1 Y + (-></ -*- I )' + 8r = 2 (2m -*- I f, 



sur le nombre des valeurs impaires, est 



[in+ i)(—\Y-a 



£ = 



222. Exemple. Soit m = 3. Les deux équations deviennent 



{■2x -+- I )' -+- (2y -t- I f = 1)8 , (ix -+- I , s -+- (2y -t- I )- -+- Kr = !)8. 



La première n'est vérifiée que par x = 3, y = 3; ainsi « = 1. Les solutions 

 de la seconde sont 



se = 4, y = \, z = \ ; x= I, y = 4, 2 = I ; x=-2, »/ = 0, z = 5; x =0, i/ = 2, z = 5. 



Par suite, — 7— i 



E = — 4 = • ( ) 



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ADDITIONS AUX PARAGRAPHES VI ET VII (**). 



223. Développement de f (q). En continuant le calcul indiqué précédem- 

 ment (156), on trouve 



/ '('/) =9 -+- 9*-+- '/ t +- > '/''+ ï'-t- '/" -i-29" , -h29 13 -i- 7" +i/"+ 7" -+ --2(i' M + 'ui iH -*-ir/ i6 + < i(f m 

 -+- 5 M +27 M + v 3,i -(- 2^/ r ' 7 -+- 2f/°+ 2ç*' -t- 37" -1- 9 <0 + o7/'"-+- 2r/ J -t- 2y 13 -f- 1''/ 58 + 2r/ 01 -t-(/ M 

 -t- V(/ 15 + 27 M -+- 7 7 -+ 27"-+- 27"-+- 2c 80 -»- if'-t-Hif'-t- iç 85 -^ 89 -»^ 90 -^"-*- 7'" h • 



(*) On voit qu'une même valeur de z doit être comptée autant du fois (ju'il ij « de solutions 

 dont celte valeur fuit partie. Les énoncés de tous nos théorèmes doivenl être entendus avec des 

 restrictions analogues à celle- ci. 



(") Rédigées pendant l'impression du Mémoire. 



