H 6 RECHERCHES 



D'après cette remarque, la relation (408) devient 



!T 1 — ^ I l/ 3 I — (/ 5 I <j 1 f/ **0 



ou, sous une forme plus simple, 



^=2:(^-7^y=2.W («») 



231. Remarque. Si l'on exprime que, dans le développement de la pre- 

 mière série, les termes renfermant des puissances entières se détruisent, on 

 retombe sur l'identité (ôio). 



T>V1. Développement de^— Le changement de q en q-, dans la formule 

 précédente, donne 



."*£- ? (ît£--ï^s)- SI 'W («<• 



attendu que m, | /.', = y(59). 



233. Décompositions de a 1 ' 2 et de a' 3 . D'après la formule (39), la décom- 

 position de a'", non effectuée dans le numéro 161, est 



( 1 _ g *_ g *+ ? «» +9 "_...)*=r2" ( p j (»)(- ? rTx2% te+I 9 n . . («sj 



Si l'on se rappelle (pie 



-la'— 2r/ 9 -+-2r/' c 



1— 2f/-t-2f/'— 27 9 -*-2r/ 



I — Ç 1 — f/ 4 H- f/ 10 -t- Çf" — ■ ■ • 



on peut remplacer la relation précédente par 



(1 - q 1 - ? 4 + </'° +7" f = (I - *>1 + 2 9 « - 2 ? » + ■ ■ ■) X 2" «W- 



OU 



1 — S*/- 4- 5ç 6 — 7q" -f- 9g* - 1 1 f/ 3 " -+- 1 5r/' 2 — I Jf/ C -+-••■ 



= (I — 2qr -1- 2r/' — 2</ 9 -+- 2r/ lc ) (I -+- t 5 r/ -+- F 9 qf* h- Ci://"-h e 17 </' -i- e„ç B -+-•••). 



(178) 



(Ml 



Voici donc une treizième décomposition de S (21 4), non moins curieuse, 

 semble-t-il , que toutes les précédentes. Elle donne lieu au théorème suivant, 



