120 RECHERCHES 



VIII. 



SOMMATIONS PAR INTÉGRALES DÉFINIES. 



239. Los séries à tenues fractionnaires, qui ont pour type la série de 

 Lambert (185), se rencontrent fréquemment dans la théorie des fonctions 

 elliptiques; et Jacobi en a conclu un grand nombre de beaux théorèmes. Si 

 l'on transformait ces suites en intégrales définies, on trouverait des relations 

 simples entre des transcendantes d'espèces fort différentes. Nous allons effec- 

 tuer quelques-unes de ces transformations, en commençant par la série de 

 Lambert, la plus simple de toutes celles dont il s'agit, et qui, cependant, 

 n'a pas encore été sommée (*). 



240. On a (**), pour toute valeur positive de/; : 



2 = 4 /'- sintH'/' (417) 



p J *"*- I 



Si Ton faite p =q n , cette formule, due à Poisson, devient 



! + q" ~i f~*" sin (nulq) à% 



I — q" nlq J e ir * - I 



(Ml 



q" q" P* da 



-o"-h2 — '- h2-V= — 4/ o" sin n(dq). . . . (418) 



I — (/" nlq ! i?~ x — I 



Conséquemment, 



1 — 7 I — 7 2 I—7" 2 I — 7 Iq 



("} Celte question a été traitée dans les Annali di Matemalica ; mais l'auteur est arrivé à des 

 résultats inexacts, parce qu'il a fait usage d'intégrales indéterminées. II y a environ trois ans, 

 j'ai adressé, au savant rédacteur des Annuli, une Note dans laquelle je signalais les erreurs 

 dont il s'agit : ma lettre n'a pas été mentionnée. 



(**) Mélanges mathématiques, p. 188. 



