SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 123 



La première série égale j^; la deuxième représente arc tg q. Quant à la 

 troisième, on trouve aisément qu'elle a pour somme 



(7 — <f') sin a (q — </ 3 ) sin (a/7) 



I + 27* eos -2a -+- q* I -+- 2</ 5 cos (2alg) -+- 7' 



Par suite, 



,., . 1 7 arc tg 7 / sin («/«) f/a 



/(o)= — — 2»/ — «*) / L_ L^ . (426) 



' w 2 I +q> (q M ' ^/ I - 2y/ cos (2«ty) -+- 7* e*™- 1 ' l ; 



ou encore 



sin (alq) 



2&; (1 arc te r/ / 



-= I + 2—4-4—-^- 87 (1 - <f) I 

 l-w/ a Iq J 



1 -+- "lif cos (2*lq) -t- 7* e 2 ™— 1 



(427) 



Ainsi, l'intégrale elliptique de première espèce est exprimable au moyen 

 d'une intégrale définie ayant une tout autre forme, et de la transcen- 

 dante^^- Si l'on pouvait développer en série cette fraction, on aurait, par 

 cela même, le développement de l'intégrale définie. 



245. Une seconde formule de Poisson va nous donner de nouveaux résul- 

 tats. Cette formule est 



e p— e -p 



e p -t- 2 cos 6 -+- e~ 



Pour = 0, elle se réduit à 



e* — 



sin pxax. (' 



e p ■ 



I i " sin p'xda 



ï~ / e TJ - — e~™ 



(428) 



Soit, comme ci-dessus (240), p= — nlq : il vient 



(429) 



I + q" 



Si l'on multiplie les deux membres par q", que l'on décompose la fraction en 



i + q- " 

 (') Journal de l'École polytechnique, 18 e Cahier, p. 297. 



