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et que Ton fasse varier n de 1 à -f- oo , on obtient 



2 2" 7^- ir— = - * / - '^ - 2* '/" sin " ( *''/' ; 







ou, par la formule (im) : 



11 I 11 {" -in (-//") da 



+-— ! h ...=-_! Oo / ii — --(430) 



I -\-q" ï. I — o / c ■-— c ■■ \—2qcos(<x.lq)-*-q 



'i + -£-_ 



I + o I H- « s 



246. On sait, et il est facile de démontrer, que le développement du pre- 

 mier membre a la forme 2" ('« — P«) r / "> '» désignant le nombre des dix i— 

 seurs impairs de /;, et P„ le nombre des diviseurs pairs. Par conséquent 



/sin (a/a) lier. „* 



7—^ TT~ — - — =2 H+2P„-2I„ «-' . . (43) ) 



247. Quand w est premier impair, et dans ce cas seulement, I„ — P„=2 ; 

 de sorte que le coefficient de 7" ' est — 3. Si donc Ton pouvait développer, 

 suivant les puissances de q, la fonction contenue sous le signe y, on aurait 

 la loi des nombres premiers (*). 



248. La combinaison des formules (iao), (iôo) donne ces deux autres 



égalités 



'/ 



\—(j \ - r 1 - q" 



\ ■ ■ (io2) 

 1 g 1 <(! — ") P" sin (a/y) r/« 1 



2t-'/ + 2 /</ W 1 — */ cos (a/oj -+- o J ê™ - t ' ' 



?' '/' 7 2 " 1/(1— 7) /*" sin Ulq] t/a , 



— 1 — ; H 1 ! h ... = _ -J li -h o / i— H (433) 



I— ([' \—g i \ — q-' -1 Iq '/ 1 — ->q cos (a/7) -h q- e™+ 1 



U 



Le premier membre de celle-ci est la série de Lambert, dans laquelle q serait 

 remplacé par q" 2 . Conséquemment, 



(') Celle idée appartient au Géomètre à qui j'ai fait allusion précédemment. Elle mérite d'être 

 approfondie. 



