SUR QUELQUES PRODUITS INDÉFINIS. 123 



1 /( ! — ?) /** sin (a/ 7 ) rfa 



/'/ ,J i — "2q cos (*lq)-i- q* e~<*-i-i 



II 



_ I ?' ( < /(! — y 1 ) /** sin (2«fy) r/*_ 



2 1 — <f "* 2 ty "' / 1 — 2ry a cos (2aty) + 7* e 2;rj; — I ' 



ou, après quelques réductions : 



/* sin(a/y)rf« r e™ 1 "i 1 r g 3 | 1(1 -t-?) ! 



t /2T -' — 1 L 1 — 27 cos (a/7) -+- ç 2 1 -f- 27 cos (a/7) -H 7 2 J 27 L 1 — q 1 lq .1 

 



249. Dans cette formule générale, prenons (/ = e~~, ce qui revient à 

 supposer <u = w', /.' = k' (1 93). Elle devient, par le changement de «en^ 



/* sin ada r e x I "1 1 r , r. ~\ 

 = / 1 -1 -+- e -') • (455) 

 e *a_ | Le T — 2 cos a ■+- e~ r e T -+■ 2 cos a + c" r J 2 L e 2r — 1 J 



2o0. Des relations 



I -+- q" 2 



/sin ("a/7) da I — a" /^ sin (nvli/) da 



(,.-- — 1 I -4- q" I e** — e~ iror - 



I — q" nlq 



trouvées ci-dessus (240, 245), on conclut, par soustraction, 



q" I /' ' sin 11 (alq) da 



"In lq f i~*-+ I 



1 — q*" 



Donc 



_i__ 2L + _ï: = _L( 1 _I + I_:U...] 



1 — q 1 1 — q" I — q'" -2lq \ 5 5 7 / 



■+■ / - z ^— — [sin (a/7) — sin (3«/<y) -+- sin (b*/i/) — •••]; 



ou, à cause de la formule (271)) : 



(1 — k')a t. P* da r 



+ — = / — -I sin {alq) — sin (Zalq) -+- sin (halq) J . (450) 



4r 8/7 / e ra -t- 1 







Cette équation offre une particularité assez remarquable : le second mem- 

 bre a une valeur connue, bien que la série contenue sous le signe /soit 

 Tome XL. 17 



