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indéterminée (*). Du reste, on peut remplacer l'intégrale par une autre, qui 

 ne présente pis cette espèce de paradoxe. 

 L'identité 



1 — 11" 1 -4- il" „ 4 

 i- -+- '— = — 2 H 



1 + q" I - 7" 1 — (f" 



donne, si Ton a égard aux formules ci-dessus, 



q" i | q" P" sin n (*lq) da 



'- = -«" q" I —^ — ; 4<>7) 



I — q"" 2 ' %q n * I e™—\ 







puis, par un calcul déjà effectué (244) : 



251. De cette relation, combinée avec la formule (V27), on conclut ce 

 résultat assez simple : 



2A-'s {i—qf S*" sin (a/7) du (459) 



8(7 



-'/ 



1 + q *~ "*" ° l » ''y 1 h- 2r/ 2 cos 2 (a/7) -+- V 4 e™ - «r« 



2o2. Comme dernière application, cherchons, sous forme d'intégrale 

 définie, la somme de la série 



s 



r = ^ (44o)(") 



I _ q l — ry 3 1 — r/ 5 2tt 



A cet effet, remplaçons q par q*, dans la formule (437) : elle devient 



sin n \—alq du 

 = 9*- 77 T- 9 



1—7" 2 ' /7 « ^y e TX -\ 



On conclut, de celle-ci 



i 



fc a 1 7' 



2îr _ 2 i + 7 



-arctg(l/7)-y __ T ^8,n--9*nn T +^8in T - -j 



(*) J'ai signalé, autrefois, un exemple analogue à celui-ci (Mélanges mathématiques, p. 127). 

 (*") Fundamenta nova, p. 103. 



