( s. } 



Z»* = X' -f- Y' — 2XY cos ïi; ' e. 



c' = Y" 4- Z" — 2YZ cos Cj . . e\ 



cr = Z' + X" — aXZ cos D e". 



EliiuInanlX, Y, rëqualion finale serait en Z du huitième degré. M. Lacroix a Indiqué celte 

 solution dans sou Complément de géométrie, première édition, année 179$, page 85, et 

 dans une édition postérieure, il a rappelé la solution dEstève , de 1754. 



Eu 1795 , Lagrangc a donné une solution plus simple , en prenant pour inconnue Tune des 

 trois arêtes , et pour les deux autres inconnues , les rapports de la première arête à la seconde 

 et à la troisième. Ce mode de solution est indiqué dans le Journal des Écoles normales de 

 l'année 1795, tome IV, pages 4n-4i5. En supposant dans les trois équations précédentes 

 e, e', e", que l'arcte Z soit prise arbitrairement, et que , par rextrémité de cette arête , on ait 

 mené un plan qui coupe la pyramide suivant un triangle des côtés b , c, d, semblable au 

 inanglc' donné base de la pjramide, la similitude de ces triangles donnera : 



Z-' = wc" =: nd'', 

 m et n étant des conslanlcs connues; d'où il suit ou'on aura, pour déterminer X et Y, les 

 énuations suivantes : 



X' + Y' — 2XY cos B = m (Y^ + Z^ -^ 2YZ cos C) . . . . . (/) 



X' + Y^ — aXYcosB = n (Z' + X^ — 2XZcosD) {J'); 



prenant la valeur de Y* dans l'équalion (y') , et !a substituant dans l'équation (/) , on aura , 

 après la substitution, une valeur linéaire de Y, au movcn de laquelle on cliangera l'uiie des 

 équations y ciy' en une autre, qui ne contiendra que l'indéterminée Z et l'inconnue X élevée 

 il la quatrième puissance; on déterminera ensuite l'arbitraire Z, par la condition que les 

 extrémités des trois arêtes X, Y, Z soient les sommets d'un triangle donué, base de la 

 pjramifle. 



Eslève, de Montpellier, avait remarqué que le problème de la pyramide triangdaiio qu'il 

 avait résolu, n'était pas de pure spéculation, et qu'il pouvait être utile dans la géogiMpbie, 

 pour la solution de celte question : 



« Etant placé sur le sommet d'une montagne , et connaissant les distances qu'il y a enti-e trois ^ 

 ■* objets quon découvre daus la plaine, il s'agit de déterminer du même sommet, par les 

 » règles de la trigonométrie, la baulcur de la montagne, et la distance à chacun des objeLs 

 » qui sont dans la plaine j enfin, tout ce qui appartient à la pyramide, dont la base connue 

 )) est dans la plaine, et le sommet à l'œil de l'observateur, qui y mesure les angles formés. » 

 Oa sait que la géométrie descriptive a pris naissance à l'École royale du génie qui fut 

 établie à Mézières , en 1748; la méthode des intersections des surfaces courbes faisait partie 

 de l'enseignement de celle École, et on rappliquait à la solution du problème d'Eslè.ve; elle 

 était connue de Monge, qui a fait voir , dans son Cours de géométrie descriptive aux Ecoles 

 normales de 1795 , que la solution , par celte mélbo !e, consistait à regarder chaque côté de 

 la base de la pyramide, conmie la corde d'im arc capable de l'un des angles plans donnés 

 qui forment 1 angle dièdre de cette pyramide j chaque arc, en tournant sur sa corde, 

 engendre une surface de révolution, et les trois surfaces de révolution ainsi engendrées se 

 coupent en des points, dont cliacun est le sommet d'une pyramide qui satisfait aux données 

 du problème. Cette solution géométrique est exposée dans le Journal cité des Écoles nor- 

 males, tome IH, pages 547-552. 



