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D'après les solutions algébriques de Lagrauge, de 1770 et 1795, ou avait conclu que le 

 nombre de pyramides qui résolvaient la question était de huit j mais M. Hacbetle a remarqué 

 qu'en prenant en considération les pyramides symétriques pour lesquelles les longueurs de? 

 arêtes ne cJjangcaient pas , le nombre effectif de solutions était de seize. Il a donné une nou- 

 Yclle solution, d'après laquelle on peut disposer du troisième angle de l'angle Irièdre, pour 

 que les seize solutions ne se réduisent pas à huit j ce qui arrive , lorsque les trois suppléments 

 des angles plans de l'angle trièdre donné, ne peuvent pas former un second angle Irièdre. 

 Cette solution a été publiée dans la Correspondance sur l'Ecole Polythecnique , tome II, 

 cahier de juillet 1812 , page 5j2 , et dans son Traité de géométrie descriptive , édition 1822 , 

 page i55 , et note page 265. Elle est fondée , ainsi que celle de Monge, sur le principe qu'un 

 point est déterminé par la condition d'appartenir à trois surfaces de révolution 5 ayant sup- 

 posé que le plan de la base donnée de la pyramide était fixe, on a cherché la position qui 

 convenait à des plans mobiles passant par les côtés de cette base , pour que ces plans com- 

 prissent l'angle trièdre donné , opposé à la base. M. Bruno, de Naples , a renversé l'hypo- 

 thèse ; il a supposé que l'angle trièdre fîit formé , et il s'est proposé de le couper suivant un 

 triangle de similitude donnée. Par cette manière d'envisager la question, il a trouvé que le 

 problème se résolvait plus simplement que par les méthodes connues , et que la solution 

 ne dépendait que de l'intersection des deux hyperboles situées dans un même plan. 



Quant au nombre de solutions, M. Hachette a fait observer qu'il dépendait uniquement du 

 nombre des angles irièdres qu'on peut former avec trois angles donnés, en y comprenant leurs 

 suppléments. Il est facile de prouver, et algébriquement, et par des considérations synthé- 

 tiques très-simples, que ce nombre d'angles trièdres est de huit, non compris leurs symé- 

 triques , et de seize , en les comprenant. En effet, les trois plans des angles a, b , C d'un angle 

 trièdre, divisent l'espace en huit angles trièdres, symétriques deux à deux j et si l'on forme 

 un second angle trièdre avec les trois suppléments a\ b\ c' , les plans de ces trois angles 

 diviseront encore tout l'espace en huit nouveaux angles trièdres. La discussion de l'équation 

 bien connue en trigonométrie , sin a sin h cos A z= cos a — ■ cos h cos c , donne le même 

 nombre de conibluaisous. En effet, on a pour l'angle trièdre formé par les trois angles 

 a , l> , c ; et pour les sept autres angles trièdres, qui se groupent au même sommet : 

 sui b sin c cos A =: cos a — cos b cos c 



=: — cos a -J- cos b cos c; 

 et pour les trois suppléments a\ b\ c\ # 



sin b sin c cos A =: — cos a -»— cos b cos c 

 = cos a -\- cos b cos c. 

 Chacune de ces quatre équations en comprend deux. 



Les huit angles trièdres distincts étant construits , on y placera , par la méthode de M. Bruno , 

 un triangle semblable à la base donnée de la pyramide demandée, et un plan parallèle à 

 celui de ce triangle contiendra la base même. La détermination du plan de cette base ne 

 présente aucune difficulté. 



Bî. Bruno a donné , dans son Mémoire, de nouveaux exemples de l'application de la mé- 

 thode des anciens à la recherche de plusieurs propositions de géométrie très-curieuses j on 

 les trouvera dans la traduction commentée et développée de ce Mémoire, que M. Hachette 

 a présentée à la Société. 



