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MATHÉMATIQUES. 



Note sur les racines des équations transcendantes; par M. Poisson. 

 [Société Philomatique ^ g décembre 1826.) 



Dans les problèmes sur la distribution de la chaleur, et dans d'autres questions relatives aux 

 vibrations des corps , les inconnues se trouvent exprimées par des séries d'exponentielles ou 

 de sinus dont les exposants ou les arcs sont proportionnels au temps multiplié par les racines 

 de certaines équations transcendantes. On peut toujours calculer, par des essais , les valeurs 

 approchées des racines réelles ; mais il importe de s'assurer qu'il n'en existe pas d'imaginaires ; 

 et c'est à quoi l'on parvient , quoique ces équations soient souvent très-compliquées, par des 

 moyens indépendants de leur forme , et qui sont liés à la solution de chaque problème. Ce 

 sont ces moyens que je me propose d'exposer dans cette Note. M. Cauchy a présenté récem- 

 ment à l'Académie un Mémoire sur les racines des équations transcendantes, dans lequel 

 il a considéré un grand nombre de ces équations d'après leurs formes particulières et mdé- 

 pendamment des problèmes qui peuvent y conduire, ce qui est une question différente de 

 celle que je vais traiter. 



Considérons l'équation différentielle du second ordre : 



'^ = ^ + ''^- '■' 



dans laquelle X est une fonction donnée de x, etp une constante indéterminée qui n'entre pas 

 dans X ; son intégrale complète sera de la forme : 



y =Cf{x,p) + C'F (X, p)j 

 C et C' étant les deux constantes arbitraires qui peuvent être fonctions de p , et^et F désignant 

 des fonctions de j: et de p, entièrement déterminées. Il est évident qu'en représentant par t 

 une nouvelle variable, et par e la base des logarithmes népériens , on satisfera à l'équation 

 aux différences partielles : 



= h Xz, (2) 



dt dx'' 



au moyen de 



pt 

 z = ye ; 



et comme cette équation ( 2 ) est linéaire et ne contient pas , on y satisfera encore en prenant 



z = ly e ; (^) 



la caractéristique 2 Indiquant une somme qui s'étendra à toutes les valeurs de p que l'on vou- 

 dra , réelles ou imaginaires. 



Cela posé , je désigne par p' une valeur particulière de p, et par j' la valeur correspondante 

 dey; je multiplie l'équation (2 ) par/ dx, et j'intègre ensuite entre des limites données aetb; 



il vient 



b 



u a 



dt 

 Octobre 1826. ^9 



