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Pour transformer le premier terme dn second membre, j'intègre deux fois de suite par partie, 

 puis je substitue en dehors dn signe /, à la place de z, la formule (5) ; il en résulte 



b 



z dx 



d 



y' dx ■=. ^ {qp' — pq' — nm -\- mn ) e -j- / 



dx"" J 



a « 



en faisant 



dy , , dy' /.,,.. 



r ■==. m, — -— ■=!. n, y =z m , — ; — z= Ji , a la limite x =: a; 

 / dx dx 



dv dy 



y = p, "j- z=. q , y' -=. p' , -- — = q\ à la limite x =. b. 



D'ailleurs , si l'on met dans l'équation (i ) ,y' et p' à la place de j et p, qu'on la multiplie par 

 zdx , et qu'on intègre , on aura 



b b b 



p' f zy' dx =z f z 'LZ- dx + f Xzydx; 



a a a 



en prenant donc la somme des deux équations précédentes et réduisant, nous aurons 



r * 



/ zy' dx P* r 



J -^ =2 {qp' — pq' — nm' ^ mn' ) e + p / zj' dx. (4) 



a fc/ 



• ' " ■ a 



dt 

 Maintenant , pour déterminer les valeurs de p et le rapport des deux constantes C et Çf , 

 supposons qu'on doive avoir les équations 



m -\- tu- n ^=z o , p -^ S q = O , (5) 



dans lesquelles a, et 6" sont des constantes données. En y substituant pour^- sa valeur; faisant, 

 en général , 



— d^ -J ^'^'P>' dçc -^ ^^'P^' 



et éliminant entre ces équations (5) , l'une des deux quantités C et C, ce qui fera disparaître 

 l'autre en même temps , on trouve 



= f/(^p) + ^f (^pA f F(«,p) + :.F' («,p)\ 



équation qui servira à déterminer les valeurs de p : l'une des équations ( 5) fera ensuite con- 

 naître le rapport de C' à C , et la constante C restera arbitraire. Mais ce que nous avons en 

 vue , c'est de déterminer la nature des racines de celle équation (6). 



Or, p' étant une valeur particulière dep, les équations (5) doivent subsister en y mettant p 

 à la place de p , ce qui donne 



m' -j- fit, re' = o , v' •\- ^l' = o; 

 en joignant celles-ci aux équations (5) , on en conclut 



mn^ — m'n = G, pq' — p'q = oj 



:6) 



