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ce qal fait disparaître la somme 2 contenue dans réquatiou (6), et la réduit à 



?. / zy' dx , r , - 



J -^ =z p' I zydx; 



dt 

 d'où Ton tire , en intégrant , 



/ 



b 

 zy' dx :=. ke ; (7) 



A étant la constante arbitraire. Cette dernière équation devra être identique par rapport à fj 

 en y substituant donc la formule (5) h la place de z, et égalant les coefficients de la même 

 exponentielle dans les deux membres , 11 en résultera 

 b 



f 



y y' dx ^ o, (8) 



tant que p et p' seront deux racines différentes de l'équation (6) ; et dans le cas de p = p , on 

 aura, en particulier, 



b 



y^ dx = A. (9) 



/ 



Toute cette analyse est celle que j'ai déjà donnée dans mon second Mémoire sur la chaleur, 

 pour déterminer les coefficients des exponentielles (* ) ; et , en effet , au moyen de l'équation 

 (9), la constante C contenue dans y, se déterminera d'après la constante A, qui se déduira 

 elle-même de la valeur initiale de 2 en faisant t = o dans l'équation ( 7 ) ; mais alors je n'avais 

 pas remarqué l'usage que Ton peut faire de l'équation (8), pour démontrer que leurs expo- 

 sants sont tous réels. 



Supposons pour cela que l'équation (6) puisse avoir des racines imaginaires, telles que 

 r dbr^ l/~ , r et r' étant deux quantités réelles. On pourra prendre. 



p =: r + r' |/--^ j p' = ^ — ''' l/— ^ ' 

 et représenter par 



j = R + R' \/—[, y = R — R' V^=T, 

 les valeurs correspondantes dey eiy', R et R' étant aussi des quantités réelles qui renferment 

 la variable x. L'équation (8) deviendra alors 

 b 



(R^ _|_ R'-) dx = o. (10) 



/ 



Or, tous les éléments de cette intégrale étant positifs , leur somme ou l'intégrale ne peut être 

 égale à zéro , à moins qu'ils ne soient tous nuls ; on a donc 



R = o, R' = o; (II) 



équations d'où l'on tirerait des valeurs de r et r' dépendantes de x, ce qui est inadmissible ; 

 donc aussi les valeurs de p et p' que nous avons supposées sont impossibles , ce qu'il s'agissait de 



(') Journal de l'École Polytechnique, 19" cahier, page 377. 



