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MATHÉMATIQUES. 



Mémoire sur le calcul numérique des intégrales déjinies, par M. Poisson. 



{Lu à i j-jcacu'iiiiii RoyaL^ des Sciences /e i i dérej/iôic lu^G.) 



Le calcul des intégrales définies est peut-être la partie de Taiialyse dont les applications sont 

 les plus nombreuses et les plus variées. Non-seulement elles comprennent la reclificatiou 

 des courbes, rév.Tluation des suil'aces et des solicles, et la détermination des centres de gravité, 

 mais encore, la plupart des problèmes de mécanique ou de pbysique que Ton résoul par Ui 

 calcul intégral, conduisent à des expressions des inconnues en intégrales définies. Aussi, 

 depuis Euîer, et surtout dans ces derniers temps , les géomètres se sont-ils beaucoup occupés 

 d'étendre et de perlcctiouner cet important calcul. Dans le petit nombre de cas oili Tintégrale 

 générale est connue sous forme finie, on en déduit immédiatement l'intégrale définie 5 dans 

 d'autres cas , beaucoup plus étendus , on parvient à trouver la valeur exacte de l'une sans con- 

 naître celle de l'autre ; mais le plus souvent on est obligé de recourir aux médiodes d'ap- 

 proximation. Celles-ei consistent en des moyens particviliers à quelques intégrales, d'après 

 lesquels on parvient à les ("aire dépendre les unes des autres, et à les réduire en table, ainsi 

 que M. Legendre l'a pratiqué à l'égard des transcendantes elliptiques , et de deux autres classes 

 d'intégrales qu'il a nommées Eidérieniws. Quelquefois aussi on peut réduire la quantité 

 soumise à rintégralion en série convergente dont les termes sont intégrables par les règles 

 ordinaires. Mais quand toutes ces ressources manquent, on emploie un procédé général de 

 calcul, fondé sur la nature même des Intégrales , et qu'on appelle proprement Méthode des 

 quadratures ; dénorainalion qui lui ^nent de ce que le problème est le même que celui de 

 trouver l'aire d'une courbe plane, ou le côté ô.a carré équivalent. L'examen approfondi de 

 cette mélbode, envisagée sous un nouveau point de vue , est le but principal que je me suis 

 proposé dans ce Mémoire. 



Une intégrale définie est la somme des valeurs de la différentielle comprises entre les limites 

 de l'intégration , et supposées toutes infiniment petites , ce qui ne souffre d'exception que 

 quand le coefficient diiïl'rentiel devient infini entre ces limites. Il en résulte que si Ton prend 

 seulement un grand uombie de ces valeurs, et qu'on y remplace la différentielle de la variable 

 par sa différence finie, on aura une première valeur de l'intc-grale , d autant plus approchée 

 que cette différence sera plus petite. Il ne s'agira plus que de déterminer la correction 

 qu'elle doit subir j et c'est en cela que consiste la mélbode que nous vouions examiner. 

 La formule en série qu'Euler a donnée pour exprimer cette correction , est une des plus 

 utiles dont 11 a cnricbl l'analyse. Nous y parvenons d'une manière nouvelle , qui a l'aran- 

 tage de faire connaître en même temps une expression du reste de la série , à quelque terme 

 que l'on s'arrête j expression dont il est facile d'assigner des limites dans cbaque cas par- 

 ticulier, qui permettent d'apprécier l'erreur de l'approximation. Il serait à désirer que Ion 

 eut de semblables limites pour toutes les suites infinies dont on fait usage : Lagrange les a 

 exprimées très-simplement dans le cas de la série de Taylor ; et récemment M. Laplace 

 s'est occupé de questions analogues, relatives aux développements des coordonnées des 

 planètes dans le mouvement elliptique, et d'une autre fonction qui se présente dans îa 

 tbéorle des perturbations. Dans le ras dont nous nous occupons , ce qui rend la connaissance 

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