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calculer leurs racines réelles. La convergence des séries qui expriment les fonctions transcen- 

 dantes supplée à la propriété qu ont les fonctions algébriques d'être réduites à une constante 

 par des différentiations successives. 



On peut faire l'application de ces principes aux équations transcendantes qui servent à for- 

 mer l'expression du mouvement de la chaleur dans la sphère, dans les prismes rectangulaires , 

 et dans le cylindre. J'ai rappelé ici les trois procédés différents dont je me suis servi , dans mes 

 recherches analytiques sur la chaleur, pour résoudre les équations dont il s'agit; iîs donnent 

 tous les trois le même résultat : 



1°. On emploie les constructions géométriques, parce qu'elles fout connaître très-clai- 

 rementles limites de chaque racine. 



2°. J'ai démontré que toutes les racines des équations trigouométriques qui se rapportent à 

 la sphère ou aux prismes , sont réelles , en substituant à la place de la variable un binôme 

 dont le second terme est imaginaire. On voit, par le résultat de cette substitution, que le 

 coefficient du second terme est nécessairement nul. 



3°. On démontre aussi que les équations irigonométriques dont il s'agit ont toutes leurs 

 racines réelles, sans qu'il soit nécessaire de regarder comme connue la forme des racines 

 imaginaires ; car la fonction trigonométrique est le produit d'un nombre de facteurs qui croît 

 de plus en plus , et sans limites. Or j'ai prouvé rigoureusement que chacune des équations 

 successives qui en résulte ne peut avoir que des racines réelles. Cette propriété est totalement 

 indépendante du nombre des facteurs. 



Il me reste à indiquer l'objet du troisième article du Mémoire. La question que j"ai traitée 

 dans celle dernière partie a un rapport plus sensible avec les phénomènes naturels; elle s'ap- 

 plique à la question du mouvement séculaire de la chaleur dans l'intérieur du globe terrestre. 



Nous avons dit que l'expression analytique du mouvement de la chaleur dans la sphère, 

 dans les prismes rectangulaires et dans le cylindre , contient les racines d'une équation trans- 

 cendante déterminée, et que toutes ces racines sont réelles. On peut donner différentes 

 démonstrations de cette proposition , et toutes les r43cherches ultérieures ne peuvent que la 

 confirmer. Mais quelle est la cause naturelle de celte propriété? pour quelle raison physique 

 est-il impossible qu'il entre des expressions dilférenles dans les solutions données par le calcul? 

 quel rapport nécessiire y a-t-il entre le principe de la communication de la chalenr , et un 

 théorème abstrait sur la nature des équations? 



On résoudra clairement celte dernière question , en considérant ce qui aurait lieu si l'équa- 

 tion qui détermine les exposants de chaque terme , coulenail des facteurs du second degré dont 

 les deux racines seraient imaginaires. En eff^et chacun de ces derniers facteurs pourrait servir 

 a former une solulfon particulière de la question , <ît cette solution contiendrait la valeur du 

 temps sous les signes Irigonométriques j il en résulterait que la température moyenne du so- 

 lide correspondante à chaque instant , sérail exprimée par une quantité périodique. Cette 

 expression serait formée d'un facteur exponentiel et d'un facteur trigonométrique variable 

 avec le temps. La température fixe du milieu étant supposée celle de la glace fondante , la 

 température moyenne du solide serait successivement positive, nulle, et négative 5 ensuite, 

 en commuant de changer, elle deviendrait de nouveau égale et supérieure à celle du milieu. 

 Ces alternatives se reproduiraient durant un temps infini divisé en mesures égales, comme il 

 arrive dans les dernières oscillations des lames ou des surfaces sonores. Or de tels eff"ets ne 

 peuvent avoir lieu, et, pour rendre cette impossibilité manifeste, il suffit d'appliquer la 



