22 SUR LES FIGURES D'EQUILIBRE 



t|ii(;slioii, pris sur les prolongements des trois côtés, sont nécessairement en 

 ligne droite. Nos trois centres (/, f e.i g jouissent donc de cette propriété. 



Ce premier point établi , démontrons les autres. Considérons le point o 

 comme étant simplement Tintersection des deux arcs uo et vo ayant pour 

 centres /' et (j ; joignons od , ofel oy, et, sans chercher d'abord si od est bien 

 réellement le rayon de Tare ayant pour centre d et partant du point s, lai- 

 sons voir que les angles f(xl et god sont chacun de GO", ou, ce qui revient 

 au même, que Tangle fog est de 120% et que la droite od en est la bissectrice. 



Cherchons d'abord à déterminer les longueurs fd et gd, et, à cet eflet, 

 considérons-les comme appartenant respectivement aux triangles fcd et yv'd, 

 dans lesquels nous pourrons évaluer les côtés fc, de, gc' et de', ainsi que 

 les angles qu'ils comprennent. Pour arriver à ces dernières valeurs, calcu- 

 lons les côtés du triangle cc'c". Au moyen du triangle esc', où les côtés es 

 et e's sont respectivement p et p' et comprennent entre eux un angle de G0°, 

 on trouve sans peine 



ce' = l/^- -t- p"^ — pp 



les triangles cm" et e've" donnent de même 



ce" = Vp- -f- p"- — pp". et c'c" = Vp' -t- /'- - 



On déduit de là, par la formule connue, 



p- -+-(/' — /) {p — p") 



ros c'cc" = cos dcf = 



2 \/p^ H- p'-^ — pp y'p- + p - — pp 



■'2 



on trouvera de la même manière 



cos cc'c" = cos gc'd = 



[p — p'] {p" — e') 



2 y/p^ + p'-i — pp' V//2 + p"'2 _ //' 

 D'un autre côté , on a 



fd = \/fc -i- de — 1 de. fc. cos dcf, et ()d = Vdc'' -+- gc'' — 2 de', ge'. cos de'g, 



formules où les droites f/c, fe, de', ge' restent encore à déterminer; mais, 



