SURFACES IN HYPERSPACE. 271 



2. Methods of attack. When attacking the theory of the two- 

 surface in Sn, tlie method of attack is of fundamental importance. 

 That followed by Kommerell consists in starting with the finite 

 equations of the surface and in trying by geometric intuition to find 

 what sort of properties lend themselves most readily to generalization. 

 This method has the disadvantage that it is somewhat lacking in 

 system, and one is never confident that he is not overlooking things 

 that are perhaps the most vital to the subject. Levi starts with the 

 finite parametric equations of the surface and determines the invari- 

 ants / of orthogonal transformations and the elements J covariant 

 under a change of parameters. This is more systematic and safer. 



It seems clear that the safest and most systematic method of attack 

 is to discuss the surface entirely from the point of view of the differ- 

 ential quadratic form or better of the set of differential quadratic 

 forms which define the surface. In following this method we have 

 the advantage that Ricci, in his Lezioni sulla Teoria delle Superficie,^ 

 has pursued more consistently than any one else the same method 

 with regard to surfaces in ordinary space. In his work those proper- 

 ties which depend on the first fundamental form are first developed, 

 and then those which follow from the first and second forms together. 

 Now the first fundamental form defines a surface in so far and only 

 so far as that surface may one of the infinite class of surfaces applicable 

 upon it. Thus the first fundamental form determines a surface as a 



4 Padova, Drucker, 1898 (Lithographed). The contents of this book is as 

 follows: — ■ Introduzione: I. Delle equazioni linear! ed omogenee a derivate 

 parziali di I. ordine e del sistemi completi, p. 1. II. Nozioni generali sulle 

 forme differenziali quadratiche, p. 36. III. Del calcolo differenziale assoluto 

 ad n variabili, p. 45. IV. Delia classificazione delle forme differenziali quad- 

 ratiche positive, p. 73. V. Degli invarianti assoluti comuni ad vma forma 

 fondamentale ed ai sistemi associati, p. 91. VI. Del calcolo differenziali 

 assoluto a due variabili independent!, p. 105. Parte Prima: Delia proprietd. 

 delle superfide considerate come veli flessibili ed inestendibili. I. Dei sistemi di 

 coordinate sopra una superficie qualunque, p. 134. II. Generalita sulle con- 

 gruenze di linee tracciate sopra una superficie, p. 148. III. Considerazioni 

 generali sugU invarianti differenziali ecc, p. 163. IV. Delle congruenze di 

 linee geodetiche e di linee parallele, p. 176. V. Fascii e sistemi isotermi, 

 e rappresentazioni conform!, p. 202. VI. Sulla integrazione della equazione 

 delle congruenze geodetiche, p. 223. VII. Delle congruenze isoterme di 

 Liouville, p. 248. Parte Seconda: Teoria delle superficie considerate come dotate 

 di forma rigida nello spazio. I. Equazioni generali della teoria delle superficie, 

 p. 270. II. Delle linee di curvatura e delle linee asintotiche, p. 287. III. Della 

 rappresentazione sferica di Gauss, p. 309. IV. Di alcune classi special! di 

 superficie, p. 322. V. Evolute e superficie di Weingarten, p. 350. VI. Delle 

 superficie di secondo grado, p. 366. VII. Delia applicabilita delle superficie, 

 p. 385. 



