SUPERFICIE DEL TERCER ORDEN DE GRAl'MANN 161 



Supongnmns nliora que el punto a lengn íilgunns posiciones es- 

 peci.'iles. 



I" Supongamos á a en E. I.o F;¡ se reduce á un plano K v lui 

 cono del segundo orden K^.. con su vértice en N. Tara todas 

 las posiciones de ;, E queda fijo y solamente varía el cono K^, ; 

 lodos estos K,. se encuentran en tres generatrices fijas I*,, P., p., y 

 una variable G'. A cada punto « en E corresponderá siempre un 

 cono Ko y á la recta que pasa por «ya, corresponderá la G '. La recta 

 G' encuentra á E en un punto (j que á su vez corresponde á G '. 



Así tenemos una conocida afinidad cuadi-ática en el plano E que 

 ha sido estudiada más profundamente por \\e\Q. Los tres puntos 

 prin(;ipales son : los tres /;,, ]> , p.; las tres rectas principales son 

 las que unen los puntos /■,, [.., /'¡ entre sí. Cuando // describe una 

 sección cónica por los tres />,,/>;., ^3, (V describirá una sección có- 

 nica que es inscripta á las tres rectas principales. 



2" Supongamos que a esté situado en uno de los tres puntos 

 /',, [i, !'•. Entonces el punto x estará siempre en el plano ^, á quien 

 él corresponde y entonces tenemos un especial « Sistenia de cero " 

 descubierto por iMóbius. 



Si ; pasa por la recta /', , /^., x estará también situado en ;, y á la 

 vez debe estar en el plano que une ;-;¡ con f-}, cuyo plano lo de- 

 signaremos con y;. Este plano r^ encuentra al ^ en una recial;.; 

 por consiguiente á un plano ; que pasa por /", /o corresponde una 

 recta T;. ó mejor dicho los puntos singulares de la recta T;.. 



Ahora bien si ^ describe un haz de planos al rededor de la creta 

 /", fi como eje, T3 describirá un haz de rayos proyectivo con el an- 

 terior y cuyo centro es el punto (/", fi) -3. Este es el conocido pun- 

 to í/;. que se encuentra en la aplicación de la construcción grap- 

 maniana de la curva G. (lig. 3). 



Análogamente habría para el haz del eje /j /■; un haz proyectivo 

 en el plano 7:;., con centro 7.., etc. 



3° Si a coiuide con N la superlicie se convierte en un cono 

 del ten;er orden. 



Observemos finalmente que en el caso que los tres puntos /,, [■,, 

 j\ coincidieran con los tres puntos /;,, /;.., p¿, este cono se reducirá 

 á los tres planos 7;,, -.,, r... 



La investigación más profunda sobre esta afinidad y especial- 

 mente su estension al espacio á cuatro dintcnsioncs y deutás la 

 reservaremos para otros artículos. 



1)h. Federico Haft. 



ANAL. sor.. f.IlíNT. AR(.. T. \X1X 11 



