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quedando así dividido el tomo en dos partes. Se me ha objetado que tal divi- 

 sión, si bien encomiable por su franqueza lógica, implica dar :il postulado de 



Euclides una importancia demasiad* nsiderable, siendo asi que es mi postulado 



como cualquier otro, (indudablemente, la geometría esclusivamente racional esta 

 basada en nociones fundamentales, por medio de las cuales todas las otras pueden 

 si-i- construidas por simples definiciones lógicas y en axiomas que expresan ciertas 

 propiedades de aquellas nociones, de suerte que toda imagen sensoria queda eli- 

 minada, y iii> hay por qué atribuir a' un axioma mayor importancia que a' otro. 

 Tales son los sistemas de Hilbert, Padoa, Minkowski, Hamel. Pero la cuestión 

 cambia cuando se estudia, no el tema de los fundamentos <> principios analíticos <l<- 

 ln Geometría abstracta sino la geometría especial de nuestro espacio con un fin 

 pedagógico. Poincaré dice .-í ese respecpecto : « Este libro (se refiere al citado 

 de Hilbert) debuta de la siguiente manera : « Pensemos tres sistemas de objetos 

 <. que llamaremos intuías, rectas <i planos ¿Qué objetos muí estos? No lo sabemos 

 « ni tenemos por qué saberlo; más aún, un conviene buscar lo que son ; todo lo 

 « que tenemos derecho a saber de ellos es ln que nos enseñan los axiomas... He 

 « aquí un libro del cual tengo la mejor opinión pero que me guardaría de reco- 

 « mendar a los alumnos de los liceos ». 



« Tratándose de la geometría de nuestro espacio la distinción especial del postu- 

 lado de Euclides está justificada por la importancia histórica de este postulado y 

 por el numero considerable di- proposiciones elementales que derivan de él, así 

 ionio por su vasta aplicación en la práctica. 



« Después de publicado el primer tomo di- esta obra, he tenido oportunidad de 

 conocer el excelente texto de Enriques y Anialdi en el que los autores han 

 ■-epatado también las proposiciones derivadas del postulado de las paralelas de 

 los demás, independientes de él. El método seguido por estos autores es paréenlo 

 al nuestro, ambos tienden á separar netamente, en el estudio geométrico del es- 

 pacio en que nos encontramos, la parte empírica y la parte puramente de lógica. 

 I.as observaciones experimentales preceden y se condensan en forma, de postula- 

 dos, y luego, de éstas, por el raciocinio, se desprenden los teoremas. De ahí la 

 naturaleza física de los postulados. 



« Asi como en geometría plana la leona de la circunferencia, es en gran parte, la 

 repetición de la de los triángulos, en la del espacio, la teoría de la superficie es- 

 férica es una repetición de la de las rectas y planos perpendiculares ú oblicuos, 

 y por lo tanto deben estudiarse simultáneamente. Alguien ha objetado que este 

 sistema tiene el incon veniente de fraccionar la teoría de la circunferencia, de la 

 esfera, etc., en vez de presentarla en un todo homogéneo. Contesto que el enca- 

 denamiento lógico de las proposiciones es mas fundamental que la agrupación 

 arbitraria de las mismas en base á una línea, superficie o cuerpo determinado, y 

 que c>ta tarca está, por otra parte, realizada en nuestro texto en los resúmenes 

 que figuran al final de cada libro. 



El ángulo diedro lia sido definido de una manera análoga al ángulo rectilí- 

 neo : los enunciados y demostraciones de los teoremas han sido revisados con 

 esmero á tin de que sean lo mas correctos posibles; sobre este particular se notan, 

 en la generalidad de los textos usuales, bastante negligencia. 



La geometría de la radiación y la esférica tienen sus postulados fundamenta- 

 les análogos a' la geometría plana, con excepción del postulado que establece que 

 la línea recta es abierta y del de las paralelas. Luego, demostrada esta analogía 



