NOTA SOBRE LAS CURVAS DE TERCER GRADO 183 



La condición á que deben satisfacer estas siete funciones de las 

 nueve variables independientes, x a , x t „ .v v , y a y h y c , tg A, tg B, 

 tg O, para que se las pueda considerar independientes entre sí, es 

 que uno cualquiera de los tres jacobianos que resultan, no sea idén- 

 ticamente nulo. Pero el empleo de ese método es demasiado pesado, 

 dada la naturaleza de las funciones que nos ocupa. 



Por lo demás, parece ser riguroso el siguiente procedimiento: 



a) Las variables M„ M 2 , M, y M 6 — M_, son independientes entre 

 sí. En efecto con solo llevar el origen á un punto que tenga por coor- 

 dinadas (</ = b, x = — a), tendremos que M,, M, habrán permanecido 

 invariables y M„ — M 7 habrá variado en 2 (M 5 6 — M,«) y M 4 

 había variado en 2 [M 3 a + M t &], cantidades ambas independientes 

 absolutas; además M t y M, son independientes entre sí, de lo cual 

 s asegura por la sola inspección de las fórmulas (13). 



b) Para el caso particular en que 



M 1 =0 M 2 =0 M 6 — M 7 = 0, M 4 = o 



la ecuación (14) representa un círculo, y esta condición impone 

 tg A = tg B = tg C ; entonces M„, M 8 , M 9 y M 10 son variables 

 independientes entre sí, por ser cualquier circulo engendrable del 

 modo indicado. 



c) Si para este caso sólo hacemos variar las x é i/, solo las tres 

 variables M 8 , M 9 y M 10 , variarán. Sean estas variaciones 



°Ki °9 y °io 



Siendo o 6 la variación de M,., tendremos que entre las cuatro 

 variaciones: 3 6 , i B , 5 9 y 8 10 no debe existir ninguna relación, puesto 

 que cualquier círculo es engendrable del modo indicado. 



Si hacemos variar tg B y tg C, las siete variables variarán. Sean 

 estas variaciones 



a •• a ' a ' ?' a' a ' ?' a ' 



'i ■ '¡ i ' i '- i •'k ) "a ' v 9 1 "10 



Las variaciones totales serán pues 



-\ / vi "s, v, , -\ / o. i «\ / j> | ^ ' > [ p; ' 



°1 ) '': 1 °6 C 7 ) ° I) C s T" ^x > °9 T '9 i "m : V H) 



Las cuatro primeras variaciones deben ser independientes entre 

 sí, como lo demostramos anteriormente, b). Las tres últimas también 

 son variables independientes entre sí, c), y por la misma causa inde- 

 pendientes de las cuatro primeras, luego: las siete variaciones son 



