MISCELÁNEA 205 



Dando á b todos los valores impares posibles tendremos : 



Para 6 = 3; 6' =9 = 2X4 + 1 ••• o = 4 



4» + 3 ! = 5*. 



Para b = 5 ; b' = 25 = 2 X 12 + 1 .-. a = 12 



12* + 5' = 13 ! . 



Para ii = 7 ; i' = 19 = 2 X 24 4- 1 .-. a = 24 



24= + 7 ! = 25» 

 y así sucesivamente. 



A esta serie de cuadrados hay que agregar, naturalmente, sus equimúltiplos, 

 con lo cual su número se aumenta inmensamente. 



Teorema II. — Cuando, según lo demostrado anteriormente, N es el cuadrado de 

 j + lf! número a es un múltiplo de 4. 



En efecto, el número impar b puede suponerse 



b = 2m + 1 

 y su cuadrado será 



b* = 4m ! + im + 1. 



Pero, según vimos antes, debe ser 



6* = 2c + 1 = 2o + 1 

 tendremos, pues 



4»i* + 4»i -f- 1 = 2a + 1 .-. 



4m* -f- 4»! = 2a . •. 



2m s -+- 2m = a . •. 



2m(m -)- 1) = a. 



Aliora bien, el producto m(m -4- 1) debe ser indudablemente un número par, 

 toda vez que de no serlo m lo será forzosamente m -(- 1 y recíprocamente ; po- 

 dremos, pues, escribir 



m(m -\- 1) = 2»i .-. 

 2m(m + 1) = in = a. 



Corolario I. — El número par a sera siempre mayor que el impar b. 

 En efecto, siendo a = 4», tendremos a* = ltire», y como 6* = 2a -j- 1 = 8» -j- 1, 

 nos resultará, á todas luces, 



16re 2 ; ■ 8» + 1 .-. 



a' > 6 8 .-. 



a b. 



Corolario II. — Siendo a y li penan, mire gf, a -f- 1 será primo con ambos. 



En efecto, en tal easo a" y 6*. serán, asimismo, primos entre sí, y, por lo tanto, 

 su suma (a -\- 1)' será un número primo con ambos. 



>n~ raíces a, b y a -4- 1 deberán ser. ]»>r consiguiente, tres números primos 

 entre sí. 



