BIBLIOGRAFÍA 275 



Efectuando las operaciones se obtienen los valores de /(.,■) correspondientes a 

 las variables a, a + h, a -4- 2/i ... (a -4- nh), siendo el correspondiente a esta, b. 



Si las derivadas de /(os) son limitadas, por grande que sea h, el resultado es 

 exacto ; i sólo aproximado si es indefinido el número de derivadas. 



Cuanto a los números de Bernoulli, aunque aumentan rápidamente, el termino 

 complementario resulta mili pequeño para valores de n poco considerables, i, por 

 ende, casi siempre despreciable. 



Por ejemplo : 



B 10 



= 0,00000 00000 00000 21749. 



20! C 



Propónese el injeiiiero Legrand mostrar cuan vasto es el campo de las aplica- 

 ciones de la indicada fórmula de Eulero. Con este objeto divide las aplicaciones 

 en tres series : las que dan solución exacta en absoluto ; las aproximadas i las 

 averiguaciones de límites. 



Daré una aplicación, la primera, para aclarar esta bibliografía. 



Sumación de mi polinomio de potencias enteras de x, para valores de x 



en progresión aritmética 



Sea el polinomio 



y = x" 1 -\- ax m ~ l -f- bx"< - - -f- ... 



donde m es un entero cualquiera i a, b, ... coeficientes numéricos. 



Averigüemos la suma de los valores de y correspondientes a los de la variable 



p, p + h, p -f- 2h, ... p + nh 

 donde h es un número finito cualquiera que debe satisfacer a la única condición 



p -f nh = q 

 donde n es entero i q el último término de la progresión. 



Apliquemos la fórmula de Eulero i se calculará la integral entre p i q 



bx m - 1 \'i 

 v 



í" 1 / x m + l ax"> bx m ~ l \ 



1 V ' \m + 1 + ~m~ + m — 1 ). 



i luego las derivadas sucesivas, siendo las de orden impar las únicas que entran 

 en las fórmulas. Según que m sea par ó impar se irá respectivamente basta la 

 derivada de orden m — lo m — 2. 



Sean 



Vp, II q, y'p, .'/' ' q, .'/'%: V'"q, }í p, 1J V q, ■■■ 



los valores del polinomio i de sus derivadas impares correspondientes á los valo- 

 res extremos de p i q de la variable; tendremos 



S * •" = l f ydx + 1 i!h < + yp) + ¡2 {y ' 3 ~ v ' p) ~ &o {! '"' q - }l '"' j) + • • • (2) 



(*) Recordamos que ! es el signo factorial. 



