DE LA SUPERFICIE DE SEGUNDO ORDEN DE LIE 



KN RELACIÓN 

 Á UN PUNTO DE UNA SUPERFICIE CUALQUIERA 



§ 1. Los teoremas de Lie ; coordenadas de las seis asíntotas. 



En una conferencia pública dada por el gran matemático noruego 

 Lie, en el año 1800, sobre el tema déla transformación imaginaria de 

 contacto, que reduce rectas á esferas, sostuvo como cosa cierta las 

 siguientes proposiciones : 



Teorema 1. — Trazando por un punto de una superficie las dos 

 curvas asintóticas, eligiendo sobre una de ellas dos puntos infinita- 

 mente aproximados al punto de partida y llevando por estos tres 

 puntos las tangentes asintóticas de la segunda serie, determinan éstas 

 una superficie de segundo orden idéntica á la que se formaría de las 

 tangentes asintóticas de la primera serie llevadas por los tres puntos 

 infinitamente aproximados de la otra curva asintótica y la que parte 

 del mismo origen. 



Aceptada esta proposición, deducimos de ella como consecuencia 

 inmediata y mediante la transformación mencionada de Lie, el 

 siguiente teorema : 



Teorema 2. — Trazando por un punto de una superficie las dos 

 líneas de curvatura, eligiendo sobre una de ellas dos puntos infinita- 

 mente aproximados de aquel y construyendo en los tres puntos las 

 esferas principales de curvatura agregadas á la otra serie de líneas 

 de curvatura, determinan estas una cíclida de Dupin. Asimismo 

 puede formarse ésta de aquellas esteras, que resultan, si se toman en 

 la segunda línea de curvatura dos puntos infinitamente próximos al 

 punto dado y construyendo en estos tres puntos las esferas principa- 

 les de curvatura de la primera serie. 



La primera parte de esta monografía se ocupará de la demostra- 



