DE LA SUPERFICIE DE SEGUNDO ORDEN DE LIE 24!> 



Pero sabemos que ^¡X d.r = 0, por lo tanto 



SXd s a> = 0. (1) 



Diferenciando ÜX dx = 0, obtenemos 



2<EX dx + ^X d*x = 



y combinando esta igualdad con la (1) 



SdX í/.r = 0. (2) 



En lo que sigue, hago referencia en cuanto á las fórmulas «le la 

 teoría de las superficies á la obra de Luigi Bianchi, Lezioni di geome- 

 tría differenziale, vertido al alemán por Max Lukat. Utilizando las 

 formulas señaladas en la página <S7 de la obra citada, deducimos de 

 la igualdad (2) : 



DoV + 2T>'dudv -f D"áV = o 



y en realidad es esta la ecuación diferencial de las curvas asintóticas. 

 Consideramos ahora estas curvas como lineas paramétricas. De- 

 seando expresar los cosenos directores de las tangentes de las lineas 

 paramétricas, hemos de elegir, según Bianchi, página 63, las siguien- 

 tes fórmulas : 



(4a) 



T-7=-T^T- (46) 



ds b 3w 



Estas fórmulas son susceptibles de ser colocadas en lugar de las 

 (2a) y (26), parágrafo 1. Si comparamos nuestras fórmulas (-la) y (46) 

 con las mencionadas en el parágrafo 1, resulta lo que sigue : 



du dv 1 



— = — = —= (5a 



ds ds v g 



du' 1 dv' .„,, 



(56) 



Además tenemos 



Os ' e f ^' 



D = D'=0 (6) 



<le acuerdo con el doble carácter que hemos atribuido á las lincas pa- 

 ramétricas. 



En el caso general habría que calcular de la (3) — y - — r > aprove- 

 chando la fórmula del cuadrado del elemento lineal encontramos los 



