290 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



cuya parte real P (se, y) es La función armónica de Dirichlet para la corona cir- 

 cular propuesta. 



El problema de Dirichlet se reduce en el caso más general á la determinación 

 de una función V armónica en un dominio T limitado por una superficie S, cuyo 

 valor \ ni cu un punto cualquiera M del mismo dominio tienda al valor <!>?« que 

 toma otra función * (bien definida en cada punto de la superficie S) en un punto 

 >M„ de la misma cuando el punto M tiende hacia el punto M por cualquier ca- 

 mino, siempre que no salga del dominio T. 



Los geómetras se dedicaron primero á demostrar que el problema es siempre 

 posible : es la demostración del principio de Dirichlet. 



La primera demostración fué dada por Riemann : si una función V está sujeta- 

 da á tomar valores dados en los varios puntos de una superficie que sirve de lí- 

 mite á un volumen determinado en que la función y sus derivadas son conti- 

 nuas, la integral : 



no se puede anular ; luego admite un mínimo, y es fácil probar que este mínimo 

 corresponde al caso en que la función V satisface á la ecuación de Laplace. Pero 

 esta demostración de Riemann carece de rigor, pues se pueden hacerle todas las 

 objeciones que resultan de la continuidad de las funciones definidas por el cálculo 

 de las variaciones. Por esto, muchos geómetras trataron de fundar el princi- 

 pio sobre bases más sólidas. Recordaremos las investigaciones de Schwartz (1) 

 limitadas al caso de dos variables ; las de Neumann que suministró una solución 

 general del problema cuando la superficie S es convexa ; el procedimiento de Ro- 

 bín que se refería también á esta clase de superficies. 



Más adelante otros métodos más ó menos complicados y llamados en general 

 métodos alternantes permitieron generalizar los resultados al caso de superficies 

 de forma cualquiera y también al caso de varias superficies aisladas. Pero á Hen- 

 ri Poincaré debemos una solución del problema aplicable á todos los casos po- 

 sibles, por un método elegante y original que llamó procedimiento del bala- 

 yage. 



Observaremos que los métodos dados por los que precedieron á H. Poincaré 

 eran á la vez procedimientos de demostración con objeto de probar la posibili- 

 dad del problema, y también métodos de cálculo destinados á resolverlo efecti- 

 vamente. Como procedimientos de demostración se puede decir que, á pesar de 

 la complicación, se completaban mutuamente y satisfacían al rigor más exigente. 

 Pero como métodos de cálculo eran casi inaplicables. Para no citar sino los menos 

 complicados, ó sea los de Neumann y Robín, llevaban á cálculos inextricables, 

 cuando se trataba por ejemplo de aplicarlos á la distribución electrostática en la 

 superficie -de un conductor eléctrico. 



El método del balayage de H. Poincaré constituye al contrario una demostra- 

 ción que no deja nada que desear con respecto al rigor y como procedimiento de 

 cálculo tiene la ventaja de generalizarse á todas las superficies, sean ó no con- 

 vexas. 



(1) Programa déla escuela politécnica de Zurich. 18t59. yionalsbcrichtc de la academia de Ber- 

 lín, 1870. 



