LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 65 



suerte, pues parece que sus contradictores no tuvieron la idea de 

 operar con ecuaciones incompletas, porque si así lo hubieran he- 

 cho, habrían encontrado lo que tanto anhelaban. En efecto, en 

 esta clase de ecuaciones, la regla no es absolutamente cierta por- 

 que si, por ejemplo, la ecuación no tiene mas que raices reales, 

 debiendo ser el número de variaciones igual al de raices reales 

 negativas, según veremos mas tarde, lo que, por otra parte, se 

 desprende del párrafo trascrito de la carta de Descartes, es decir, 

 que la suma de estos dos números debe ser igual al grado de Iéi 

 ecuación, Pero, siendo la ecuación incompleta, es evidente que el 

 número de variaciones, mas el de permanencias, no puede ser 

 igual al grado de la ecuación. Luego, en esta clase de ecuaciones 

 y con esta clase de raices, es falsa la regla de Descartes, tal como 

 fué dada por él. 

 Tenemos un ejemplo en la ecuación 



Según la regla, esta ecuación no puede tener mas de dos raices 

 positivas, ni mas de cero raices negativas; es decir, que no puede 

 tener mas de dos raices reales ; de donde se desprende que las 

 otras serán imaginarias. Esta conclusión es falsa, por cuanto sus 

 raices son : 



1,-1, 2,-2 



Y si se comprueba la regla en lo que se refiere á las raices ne- 

 gativas, se encontrará que en cualquier ecuación incompleta cuyas 

 raices sean todas reales, los resultados que predice no son ciertos; 

 lo que no sucede para las raices positivas; siendo las indicaciones 

 del número de estas raices siempre exacto, sea completa ó incom- 

 pleta la ecuación, con ó sin raices imaginarias. 



Si la ecuación tuviese raices imaginarias, el resultado que pro- 

 vee la regla respecto á las raices negativas, será dudoso, pues en 

 unas ecuaciones la indicación será cierta y en otras nó. 



Sea la ecuación: 



que nos indica que no puede haber mas de dos raices negativas; lo 

 que es verdad, por cuanto las raices son : 



— 2, 1 -l-2t/— 1, I —2\y — '\ 



ANAL. SOC. CIENT. ARG. T. XXI 



