LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 67 



en parle de una aplicación bastante singular de la Geometría al 

 Algebra » . . . 



Le ha seguido en este orden Segner, que ha publicado en las 

 Memorias de la Academia de Berlín (17oG) una demostración muy 

 sencilla. Respecto de ella, dice Lagrange, en la nota viii, página 

 156, de su Tratado de la resolución de las ecuaciones numéricas 

 (1826), que consiste simplemente en hacer que multiplicando una 

 ecuación cualquiera por ^jc — a, se aumente de una unidad el nú- 

 mero de sus variaciones de signo, y que multiplicándola por 

 x-\-a, se aumente de una unidad el número de sus permanen- 

 cias, cualquiera que sea el valor de los coeficientes de la ecuación. 



Se encuentra también esta demostración en los Complementos de 

 Algebra de Lacroix, pero ella no consiste, como lo dice Lagrange, 

 en hacer que multiplicando la ecuación propuesta por ce — a au- 

 mente de una unidad el número de sus variaciones, sino que por 

 lo menos debe aumentar en una unidad ; lo mismo para la mul- 

 tiplicación por X -\-a. 



Ha sido demostrado también por Kestner en el Comentario sobre 

 la Aritmética de Newton. 



Gauss hadado también una demostración elegante y rigurosa 

 de la regla de Descartes ; la que se encuentra en el Journal de 

 Crelle, tomo III, página 1. 



La misma demostración ha sido después espuesta por Gergon- 

 ne, que es la que adoptan casi todos los autores modernos, y es 

 muy semejante con la de Segner. 



Entre los que se han ocupado de dar una demostración del teo- 

 rema de Descartes, se encuentra el Abate Moigno, quien ha publi- 

 cado en el Journal de Liouville, tomo V, página 75, año 1840, un 

 notable trabajo, donde entre otras cosas, trata también el asunto. 



Algunos otros, como Fink, profesor en el Colegio de Strasburgo, 

 se han ocupado también del teorema, agregando algunas propie- 

 dades. Este profesor dio una generalización del teorema : supo- 

 niéndolo demostrado para cuando hubiese n variaciones, lo ha 

 estendido al caso que tenga n -\- '\. 



Citaremos por fin el teorema de Budan ó de Fourier, porque la 

 regla de Descartes, es un corolario de él. Este teorema se encuen- 

 tra en casi todas las obras de Algebra Superior, pero en el Analipc 

 des équations de Fourier (1830), que hemos citado ya, se encuen- 

 tra esplicado con muchísimos detalles (pág. 87). Omitimos la 



