68 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



demostración de este teorema y nos limitamos únicamente á dar 

 su enunciado como lo hace Serreten su Cours d' Algebre Supérieure, 

 lomo I, página 266, que no es mas que un estracto del dado por 

 Fourier en la página 98. Dice este enunciado : 



« Siendo dada una ecuación cualquiera / (o?) t= O de grado m, 

 si en las m -f- 'I funciones 



f{x)j'{x)j"{x), nx) (1) 



se sustituye dos cantidades reales cualesquiera a y [3 > a, y si des- 

 pués de cada sustitución se cuentan las variaciones de signo que 

 presenta la serie de los resultados, el número de las raices de 

 f{x) =0 comprendidas entre a y ^, no puede jamás sobrepasar al 

 de las variaciones perdidas de ^ = a á ce = ^, y, cuando es menor, 

 la diferencia es siempre un número par. » 



Dice este mismo autor en la página 270 : 



« El teorema de Descartes puede ser mirado como un corolario 

 del de Budan. Supongamos, en efecto, que se quiera aplicar este 

 último teorema tomando a = O, ;3 = oo. Para .t = + :^, la serie 

 de las funciones (I) no presenta mas que permanencias, y para 

 £c = 0, estas funciones se reducen á los coeficientes de la ecuación 

 f(x) = 0, haciendo abstracción de ciertos multiplicadores numé- 

 ricos y esencialmente positivos. A la verdad, la hipótesis a? = O 

 puede anular algunas de las funciones (I), y esto sucede necesa- 

 riamente si la ecuación propuesta carece de algunos términos. 

 Pero, supongamos que en lugar de sustituir ceroso haya sustitui- 

 do sucesivamente — hj-\- h, como el número de las variaciones 

 perdidas pasando de — h á-{- h es par, si como se le supone, la 

 ecuación propuesta no tiene raices nulas, es permitido no tener en 

 cuenta aquellas de las funciones (1) que se anulan para x = 0, 

 cuando se aplica el teorema de Budan tomando a = -f-Ayí3= + =>o; 

 ó lo que es lo mismo, tomando a = 0, ^ = -{-c>o. Besulta, pues, 

 del teorema de Budan, que si la ecuación f(^x) =0 tiene N raices 

 positivas, la serie de los coeficientes de los términos contenidos en el 

 primer miembro, o//*ecerá N + 2 K variaciones, K siendo un entero 

 positivo ó nulo ; lo que es precisamente el teorema de Descartes ». 



Hemos pasado así, en revista á los autores que han demostrado 

 la regla de Descartes, y no nos hemos detenido en sus demostra- 

 ciones, porque hubiera sido ir muy lejos y porque, además, no 

 tiene gran atingencia con el objetivo principal de este trabajo. 



Es por esta razón que nos limitaremos á enunciar como resú- 



