LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 69 



men de las demostraciones anteriores, el teorema principal y ios 

 demás teoremas, consecuencias y observaciones mas importantes, 

 que en el caso de la práctica se aplican todos en nombre del mis- 

 mo teorema. Seguiremos en el orden á Sánchez Vidal Lecciones de 

 Algebra, año 1878, del cual trascribiremos á continuación las que 

 se refieren á la investigación del número de raices reales. 



Teorema de Desearles. — En toda ecuación algebraica de coefi- 

 cientes reales completa ó incompleta, el número de raices positivas 

 no es mayor que el número de variaciones. 



Observación. Si el número de raices positivas no es igual al 

 número de variaciones, la diferencia es un número par. 



Teorema. El número de variaciones que presenta una ecuación 

 y su trasformada en — x, no es mayor que el grado m de dicha 

 ecuación. 



Teorema. Si todas las raices de una ecuación son reales, el 

 número de raices positivas es igual al número de variaciones, y 

 el número de raices negativas es igual al número de variaciones 

 de la trasformada en — x. 



Consecuencias. 1" Cuando una ecuación tiene todas sus raices 

 reales positivas, y dicha ecuación es completa y su primer miembro 

 no presenta mas que variaciones; 



2** Si todas las raices son reales y negativas, el primer miembro 

 no tendrá mas que permanencias. 



Recíprocas. 1° Cuando una ecuación completa no tiene mas 

 que variaciones, todas sus raices reales son positivas; 



2" Cuando una ecuación completa ó incompleta, no tiene más 

 que permanencias, todas sus raices reales son negativas. 



Todo lo que hemos dicho hasta ahora, se refiere esclusivamente 

 á la determinación de límites superiores del número de raices 

 reales, las positivas por un lado y las negativas por otro. Vamos 

 á esponer ahora las reglas que son una consecuencia casi in- 

 mediata de la regla de Descartes, que sirven para determinar 

 límites del número de raices imaginarias que tenga una ecuación. 

 Tres son estas reglas: 



1 ^ Si el número de variaciones v -|- v ' que presenta una ecuación 



