LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 71 



pero m — r representa el número de raices imaginarias; luego, 

 el número de estas es mayor, ó cuando menos igual, que la 

 diferencia que hay entre el grado m de la ecuación y la suma 



V -\-v' de variaciones de la ecuación propuesta y de su transfor- 

 mada en — X. 



2^ regla. — Sea la ecuación 



a?"* + Acc*"-" + Bcc'"-"-"' -f CíT^"-"-"'-"" -f- . . . = O 



Representamos por i\v\v",... los números respectivos de 

 variaciones formadas por el primero y el segundo término, el 

 segundo y tercero, tercero y cuarto, etc., tanto en la ecuación 

 propuesta como en la transformada en — a?, y tendremos, llamando 



V al número total de variaciones, 



m = n -\-n' -\-n" -\- ... 

 ^í = v-\-v' -\-v" + ... 

 de donde 



m — V = (?z — 'y) + (n' —v')-{-{n" —v")+ ... 



Las diferencias (w— ■y), (n'—v'), {n" — v")..., son todas positivas 

 (no hay para que detenerse en demostrarlo); luego, si alguna no 

 es cero, m — V tampoco lo será; y no siendo m — V cero, habrá 

 por lo menos tantas raices imaginarias como unidades espresa 

 m — V; ó lo que es lo mismo, como indica la suma de las dife- 

 rencias (n — y), (n ' — v '), {n" — v") 



Esto supuesto, consideremos dos términos consecutivos de un 

 mismo signo. Si la diferencia n de los esponentes de estos dos 

 términos es par é igual á 2/1;, el número de variaciones v que 

 forman en la propuesta y su trasformada en — x, será cero; luego 

 n — 15 = 2 Á; número de raices imaginarias que por lo menos 

 tendrá la ecuación. Si n es impar é igual á 2A; + 1, se tendrá 



V ^= \, en cuyo caso n — v = 2/i. Por estos resultados vemos que 

 en ambos casos, el número de raices imaginarias que acusan dos 

 términos consecutivos de un mismo signo, es igual al mayor 

 número par contenido en la diferencia de sus exponentes. 



Si los dos términos que se consideran tienen signos contrarios, y 

 la diferencia n de sus exponentes es un número impar 2k -]- 1, 

 estos dos términos presentarán en la trasformada una permanencia 

 y tendremos t> = 1 ; luego n — v = M. 



