100 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



puede surjir una utilidad. Esto sucederá cuando el límite su- 

 ministrado por la de Sturm, sea superior al de la primera. 



En efecto, al resolver una ecuación, pueden considerarse como 

 estudios preparatorios aquellos que tienen por objeto determinar 

 límites del número de raices reales é imaginarias; el orden exige 

 que estos límites se determinen. Supongamos, entonces, que 

 hemos determinado el primero, es decir el de las raices reales, y 

 que ai determinar el segundo nos encontramos (como ha suce- 

 dido en una ecuación examinada), con que la regla de Sturm dá 

 un límite mayor que la primera; y como el número de raices 

 reales é imaginarias debe ser igual al grado de la ecuación, y hay 

 incertidumhre respecto al número preciso que presentará de cada 

 una de las dos clases, todo dato que contribuya á hacer disminuir 

 la cantidad de números que han de ensayarse, debe tenerse en 

 cuenta. 



Veamos, entonces si, en nuestra hipótesis, el dato suministrado 

 por la regla de Sturm, es de esta naturaleza. 



Sea m el grado de una ecuación y /,. el límite superior encon- 

 trado del número de raices reales ; /¡ el límite inferior del número 

 de raices imaginarias que dá la primera regla, tendremos : 



Pero la de Sturm nos dice que /¡,>/i es otro límite del número 

 de raices imaginarias de la ecuación, tendremos también 



Ir, es un número cuyo valor aun no conocemos. Comparando esta 

 desigualdad con la anterior, sacamos 



lr-\-li = L + li, (a) 



pero h <. k 



luego lr>L; 



es decir, para que se verifique la igualdad (a) es necesario que k 

 sea mayor que /„, y precisamente en la misma cantidad que /¡ es 

 menor que /,», cuya diferencia se conoce. Hemos conseguido con 

 esto rebajar el número i de raices reales que hay que investigar; 

 luego, es un dato útil el que indirectamente se deduce de la regla 

 de Sturm, pues nos evita un trabajo inútil. 



En lodo lo dicho, se deduce que la regla de Sturm se empleará 

 en las ecuaciones completas, donde será especialmente apro- 



