LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES iOl- 



vechable la observación anterior; y que en las incompletas se 

 empleará en general, la primera. Luego, ambas reglas son útiles 

 y se emplearán según los casos, teniendo en cuenta sus ventajas 

 respectivas. No se puede, por lo tanto, proscribir el uso de nin- 

 guna de ellas, en absoluto, como sucedió con la segunda. 



■k * 



Demostraremos ahora el siguiente teorema : 



El límite del número de raices imaginarias dado por cada una 

 de las reglas, es siempre un número par. 



El teorema, para la primera regla, está demostrado por medio 

 de la fórmula 



m — V = 2k + 2A'' +2k" -f- 



que hemos encontrado en la página 72 donde m — V representa 

 el número de raices imaginarias que indica la primera. 



Para la de Sturm, el teorema se demuestra de la manera si- 

 guiente : 



Hemos dicho que la ecuación f(x) = Q debe ser multiplicada 

 pora? — a, donde a puede recibir un valor positivo ó negativo 

 cualquiera. Si el primero, el número de variaciones del producto, 

 como se sabe, excederá al de la ecuación propuesta, en una 

 unidad, y en general en un número impar 2k-\-\, y como de 

 este número debe quitarse una unidad, se deduce que el límite 

 hallado debe ser par. 



Si el segundo, vamos á ver que el número de variaciones del 

 producto, está siempre en defecto respecto al de la propuesta, y 

 que la diferencia es siempre par. Supongamos que la serie de 

 signos de los términos de la ecuación propuesta, sea 



que debemos en este caso multiplicar por un binomio en que los 

 signos de sus dos términos son -f , +• Tendremos entonces, ope- 

 rando únicamente con los signos, lo siguiente: 



+ + + - + 



+ + 



+ + + - + 



+ + + - + 



+ + — ± 4- + ± + 



