102 ANALES DE LA SOCIEDAD CIENTÍFICA ARGENTINA 



Demostraremos primero que la diferencia entre el número de 

 variaciones del producto y el del multiplicando, es siempre un 

 número par. Distinguiremos para esto dos casos, según que el 

 primero y último término del multiplicando sean de mismo signo 

 ó de signo contrario. 



En el primer caso, que es el de nuestro ejemplo, el número de 

 variaciones del multiplicando será par, como se sabe; y lo mismo 

 sucederá con el del producto, pues los signos estremos de este 

 serán los mismos que los de aquel. La diferencia, entonces, de 

 estos dos números de variaciones será también par. 



En el segundo caso, el multiplicando tendrá un número impar 

 de variaciones, y por terminarse el producto con los mismos sig- 

 nos, su número de variaciones será también impar; dando, por 

 consiguiente, una diferencia par de variaciones. Con lo que queda 

 demostrada nuestra primera proposición. 



Vamos á ver ahora que el número de variaciones del producto 

 nunca puede estar en exceso sobre el del multiplicando. 



En efecto, si se observan los signos del producto comparándolos 

 con los del multiplicando, se vé que cada variación de éste está 

 reemplazada en aquel por una ambigüedad. Si no consideramos 

 el último signo introducido en el producto, tendremos que el 

 mayor número de variaciones que podrán presentar todos los de fa 

 izquierda, sucederá en el caso que cada ambigüedad dé origen á 

 una variación, y que este número máximo será precisamente 

 igual al de variaciones del multiplicando; luego, en cualquier 

 otro caso presentará el producto menos variaciones que él. 



Consideremos ahora el último signo escluido mas arriba y colo- 

 quémosnos en el caso especial que acabamos de ver. La introduc- 

 ción de este signo no aumentará el número de sus variaciones, 

 pues, para que asi sucediera, seria necesario que el aumento 

 fuese par; lo cual no puede ser, pues el signo introducido es 

 un extremo de la serie. 



Antes de tener en cuenta el último signo del producto en los 

 demás casos restantes, detengámosnos un poco en examinar lo 

 que sucede con el número de variaciones que pueden presentar 

 los demás signos del producto. 



Para colocarnos en el caso mas general, supondremos que la 

 serie de estos signos se termine por una ambigüedad, de cuyos 

 dos signos, si queda el superior, habrá un número de variaciones 

 que se diferenciará del que tenga el multiplicando, en un número 



