LAS REGLAS DE NEWTON Y DESCARTES 103 



par, según hemos visto; si queda el inferior, dicha diferencia 

 será impar; y en los dos casos el número de variaciones del pro- 

 ducto, será inferior al del multiplicando, porque hemos visto que 

 no podia ser superior. 



Introduzcamos ahora el signo último. En el primer caso los dos 

 últimos signos formarán una permanencia; no habrá variación 

 introducida, y la diferencia quedará siempre siendo par. En el 

 segundo caso, dichos dos últimos signos formarán una variación 

 que, agregada al número impar de la diferencia, vendrá á dar un 

 número par. 



Queda asi completamente demostrado nuestro teorema. 



REGLAS PARA EL EMPLEO PRÁCTICO DE LA DE STURM 



Las ecuaciones, respecto á su grado, se dividen en dos clases : 

 1* las de grado par; 2^ las de grado impar : 



1^ Sea 2n el grado de la ecuación que consideramos, y su- 

 pongamos que presente n variaciones; su producto por x — a 

 que será del grado 2)i + 1 , el mayor número de variaciones que 

 podrá presentar será 2n ^ 1, en el caso que se dé á a un valor 

 positivo; y por consiguiente, un límite mferior del número de 

 raíces imaginarias, será 



2n + 1 — n -— ^ =n 



Si se dá á a un valor negativo, el menor número de variaciones 

 que podrá tener la trasformada es cero ; luego, un límite inferior 

 del número de raices imaginarias será 



n — O = n 



Se vé entonces, que en nuestro supuesto, sea que se dé á a un 

 valor positivo ó negativo, el mayor límite que se obtendrá será el 

 mismo para los dos casos. 



2^. Sea 2n -f- i el grado de la ecuación que se considera, y 



gga i^ — 11-::; — ] := n el número de variaciones que presente. 



/¿ 



Si damos á a un valor positivo, el mayor número de variaciones 

 que podrá presentar el producto, será 2n + 2, que es su grado; 

 por lo tanto, un límite inferior del número de raices imaginarias, 



será 



2n + 2 "- n — 1 = íi + 1 



